大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問94 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問4)
問題文
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問94（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- 1.01
- 1.01n−1
- 1.01n
- p
- 100p
- np
- 100np
- 1.01n−1✕100p
- 1.01n✕100p
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この過去問の解説 （3件）
01
an+1=1.01an+pを問題に沿った式に変形するためにan+1+α=1.01（an+α）となるようなαを求めます。
an+1=1.01（an+α）-α
an+1=1.01an+1.01α-α
an+1=1.01an+0.01α
よって、p=0.01αとなるのでα=100pとなります。
an+1+100p=1.01（an+100p）となります。
正解の選択肢です。
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02
前問までで、次のことを確認しました。
aₙ₊₁＝1.01aₙ＋p
つまり、（イ）は1.01
そして、（ウ）はp
となります。
今回は、この式を
aₙ₊₁＋（エ）＝（オ）(aₙ＋（エ）)
の形に直すための（エ）を求める問題です。
これが当てはまります。
実際に入れて確かめると、
左辺
aₙ₊₁＋100p＝1.01aₙ＋p＋100p＝1.01aₙ＋101p
右辺
1.01(aₙ＋100p)=1.01aₙ＋101p
となって、左右がぴったり一致します。
したがって、（エ）は100pです。
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03
an+1＝1.01an+pを
an+1+α=1.01(an+α)・・・①
の形に変形します。
①を展開すると
an+1+α=1.01an+1.01α
an+1=1.01an+1.01α-α
元の式と比較して
p=1.01α-α
p=0.01α
α=100p
よって、
an+1+100p=1.01(an+100p)
正解です。
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