大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問101 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問11)

a_nは前問より下記のように表すことを確認しています。

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×1.01^n-1+p×1.01^n-2+・・・+p

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^n-1+1.01^n-2+・・・+1)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^n-1+1.01^n-2+・・・+1.01⁰)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^1-1+・・・+1.01^(n-1)-1+1.01^n-1)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×∑ⁿ_k=11.01^k-1

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1)

また、10年目の終わりの預金額が30万円以上であることを不等式で表すと、下記のようになることを確認しています。

10年目の初めの預金はa₁₀万円なので、10年目の終わりの預金は1.01a₁₀と表すことができます。

10年目の終わりの預金が30万円以上であることを不等式を用いて表すと1.01a₁₀≧30となります。

a_nにn=10を代入すると、

a₁₀=10✕1.01⁽¹⁰⁻¹⁾+100p(1.01¹⁰-1)

となります。

1.01a₁₀≧30をpについて解いていきます。

1.01✕(10✕1.01⁽¹⁰⁻¹⁾+100p(1.01¹⁰-1))≧30

1.01✕10✕1.01⁽¹⁰⁻¹⁾+1.01✕100p(1.01¹⁰-1)≧30

10✕1.01¹⁰+101p(1.01¹⁰-1)≧30

101p(1.01¹⁰-1)≧30-10✕1.01¹⁰

p≧(30-10✕1.01¹⁰)/(101(1.01¹⁰-1))

よって、サシは30、スセは10となります。

前問までで、次のことを確認しました。

aₙはn年目の初めの預金です。

したがって、10年目の終わりの預金は
1.01a₁₀ です。

また、方針2より
aₙ=10×1.01⁽ⁿ⁻¹⁾+100p(1.01ⁿ−1)
でした。