大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問102 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問12)

a_nは次のように表すことができます。

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×1.01^n-1+p×1.01^n-2+・・・+p

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^n-1+1.01^n-2+・・・+1)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^n-1+1.01^n-2+・・・+1.01⁰)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×(1.01^1-1+・・・+1.01^(n-1)-1+1.01^n-1)

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+p×∑ⁿ_k=11.01^k-1

a_n=10✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1)

上記の式で、10は1年目の入金を始める前における花子さんの預金額、1.01は年利が1％であること、pは毎年初めの入金額を表しています。

1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく、13万円の場合のn年目の初めの預金は年利と毎年の初めの入金額がそのままなので、下記の式で表すことができます。

13✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1)

a_nと上記の式を比較すると、

13✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1)-(10✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1))

=(10+3)✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1)-(10✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1))

=3✕1.01ⁿ⁻¹+10✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1)-(10✕1.01ⁿ⁻¹+100p(1.01ⁿ-1))

=3✕1.01ⁿ⁻¹

となります。

1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく13万円の場合は、すべての自然数nに対して、n年目の初めの預金はa_n万円よりも（3✕1.01ⁿ⁻¹）万円多くなります。

前問までで、最初の預金が10万円のとき、

a_n=10×1.01⁽ⁿ⁻¹⁾+100p(1.01ⁿ−1)

となることが分かっています。

この式の意味は、

・最初からあったお金の増えた分

・毎年入金した p 万円の積み重なり

を足したものです。