大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問9 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9)
問題文
［ ツ ］・［ テト ］・［ ナ ］・［ ニ ］にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問9（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9） （訂正依頼・報告はこちら）
［ ツ ］・［ テト ］・［ ナ ］・［ ニ ］にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
- ツ：3 テト：11 ナ：3 ニ：5
- ツ：6 テト：13 ナ：4 ニ：7
- ツ：9 テト：16 ナ：5 ニ：8
- ツ：9 テト：17 ナ：3 ニ：2
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この過去問の解説 （2件）
01
文字の多さに惑わされやすいですが、難しい公式などは使用しません。
押さえておきたいポイントは次の2つです。
①図の△ABCについて S＝1/2bc・sin∠A＝1/2ca・sin∠B＝1/2ac・sin∠C
②三角比の相互関係 sin2∠ABC+cos2∠ABC＝1
以下に（タ）（チ）の解答を一部抜粋します。参考にしてください。
（タ）（チ）より、
cos∠ABC＝（1−3AB2）/2AB 両辺を2乗して
cos2∠ABC＝{（1−3AB2）/2AB}2 …①
sin2∠ABC+cos2∠ABC＝1
cos2∠ABC＝1－sin2∠ABC …②
①②より、以下の式が成り立ちます。
{（1−3AB2）/2AB}2＝1-sin2∠ABC
sin2∠ABC＝1−{（1−3AB2）/2AB}2
sin2∠ABC＝4AB2−（1−3AB2）2/4AB2 …③
三角形の面積の公式より、
S＝1/2・AB・BC・sin∠ABC 両辺を2乗して
S2＝1/4・AB2・BC2・sin2∠ABC
ここで③の右辺をsin2∠ABCに代入します。
さらにBC＝1, AB2＝xですから、③は最終的に
S2＝1/4・x・1・{4x−（1−3x）2/4x} と表すことができます。
S2＝−9/16x2+5/8x−1/16
したがって、答えは （ツ）＝9, （テ）（ト）＝16, （ナ）＝5, （ニ）＝8 です。
・ △ABCの面積SについてABの式で表している
・ （タ）（チ）で、cos∠ABCをABの式で表している
以上の2点から、解説冒頭で挙げた2つの公式に気付くことができると良いでしょう。
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02
方針
三角形の面積はＳ=1/2・a・b・sin∠Cですので、cosABCを利用して考えていきます。
正弦定理により、AC/sinABC=AB/sinACB
AC・sinACB=AB・sinABC
また設問により、sinABC=2sinACBなので、
AC・sinACB=2AB・sinACBとなります。
したがって、AC=2AB
BC=1、AC=2ABとなります。
sin2ABC+cos２ABC=1
sin2ABC=1-cosABC
cosABC=(1-3AB2)/2ABを代入して、
sin2ABC=1-{(1-3AB2)/2AB}2
三角形の公式に当てはめると、
S=1/2・AB・BC・sinABC
BC=1ですので、
S=1/2・AB・BC・sinABC
S2=1/4・AB2・sin2ABC
sin2ABC=1-{(1-3AB2)/2AB}2を代入すると、
S2=1/4・AB2・1-{(1-3AB2)/2AB}2
AB2=xと置くならば、
S2=1/4・x・1-{(1-3x)/2AB}2
S2=1/4・x・1-{(1-3x)2/4x}
S2=1/4・x・{4x-(1-3x)2/4x}
S2=(-9x2+10x-1)/16
S2=-9x2/16+5x/8-1/16
よって、ツ:9、テト:16、ナ:5、ニ:8
上記の計算結果より、数値が適当ですので正解です。
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