大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10)
問題文
（ ヌ ）・（ ネ ）・（ ノ ）・（ ハ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問10（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
（ ヌ ）・（ ネ ）・（ ノ ）・（ ハ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
- ヌ：5 ネ：9 ノ：5 ハ：3
- ヌ：6 ネ：7 ノ：3 ハ：2
- ヌ：5 ネ：8 ノ：7 ハ：5
- ヌ：8 ネ：5 ノ：5 ハ：2
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この過去問の解説 （2件）
01
S2の最大値・そのときのxの値・ABの値 の3つを求める問題です。
（ツ）～（ニ）の解答を一部抜粋します。参考にしてください。
ABは三角形の成立条件を満たす値である必要があります。もし時間に余裕があれば確認しておきましょう。
（ツ）～（ニ）より S2＝−9/16x2+5/8x−1/16…①
①のグラフは上に凸ですから、頂点で最大値をとります。
S2＝−9/16（x2−10/9x）-1/16
＝−9/16{（x-5/9）2−（5/9）2}−1/16
＝−9/16（x-5/9）2+{9/16・（5/9）2−1/16}
①について、S2が最大となるときx＝5/9 です。 …②
xの値だけ分かればよいため、{}の中を計算する必要はありません。
三角形の成立条件から BC＜AB+AC, AC＜AB+BC …③
ここで正弦定理より
AC/sin∠ABC＝AB/sin∠ACB sin∠ABC＝2sin∠ACBより、
AC/sin∠ABC＝2AB/sin∠ABC
AC＝2AB
BC＝1, AC＝2ABを③に代入して
1＜3AB, 2AB＜AB+1, 整理して 1/3＜AB＜1 となります。
x＝AB2から 1/9＜x＜1 ですので、②はxの定義域に含まれます。
AB2＝5/9
AB＝±√5/3
1/3＜AB＜1 より AB＝√5/3
したがって、答えは （ヌ）＝5, （ネ）＝9, （ノ）＝5, （ハ）＝3 です。
少し面倒に感じるかもしれません。求めたい値を導き出すために必要な部分だけ計算するのがよいでしょう。
参考までに、 S2＝−9/16（x2−10/9x）-1/16 のグラフを掲載します。
青い部分がS＞0, 赤い部分が1/9＜x＜1です。
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02
S2=-9x2/16+5x/8-1/16のグラフは、上に凸になりますので、頂点の時にS2が最大となります。
S2=-9/16(x-5/9)2+25/144
x=5/9
設問より、x=AB2ですので、AB2=5/9
AB＞０ですのでAB=√5/3
よって、ヌ:5 ネ:9 ノ:5 ハ:3 となります。
上記の計算結果より、数値が適当ですので正解です。
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