大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問11 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問11)
問題文
（ ヒ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問11（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問11） （訂正依頼・報告はこちら）
（ ヒ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
△ABCにおいてBC＝1であるとする。sin∠ABCとsin∠ACBに関する条件が与えられたときの△ABCの辺、角、面積について考察する。
（3）sin∠ABC＝2sin∠ACBを満たす△ABCのうち、面積Sが最大となるものを求めよう。
sin∠ABC＝2sin∠ACBとBC＝1により
cos∠ABC＝（［ タ ］−［ チ ］AB2）／2AB
である。△ABCの面積Sについて調べるために、S2を考える。AB2＝xとおくと
S2＝−（［ ツ ］／［ テト ］）x2＋（［ ナ ］／［ ニ ］）x−（1／16）
と表すことができる。したがって、S2が最大となるのはx＝（ ヌ ）／（ ネ ）のとき、
すなわちAB＝√（ ノ ）／（ ハ ）のときである。S＞0より、このときに面積Sも最大となる。
また、面積Sが最大となる△ABCにおいて、∠ABCは（ ヒ ）で、∠ACBは（ フ ）である。
- 鋭角
- 直角
- 鈍角
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この過去問の解説 （2件）
01
面積Sが最大となるとき、∠ABCが鈍角・直角・鋭角のどれになるかを選ぶ問題です。
以下のポイントを意識して解いてみましょう。
△ABCの最大角を∠ABCとするとき、
AC2＜AB2+BC2 ならば∠ABCは 鋭角
AC2＝AB2+BC2 ならば∠ABCは 直角
AC2＞AB2+BC2 ならば∠ABCは 鈍角
BC＝1, （ノ）（ハ）からAB＝√5/3, AC＝2ABよりAC＝2√5/3
AB2+BC2＝14/9
AC2＝20/9
AC2＞AB2+BC2
したがって、答えは鈍角です。
cos∠ABC＝AB2+BC2−AC2/2AB2・BC2 にBC＝1, AB＝√5/3, AC＝2√5/3を代入して、cos∠ABCの正負を確かめることもできます。
『解説の冒頭』で示したポイントの詳細が気になる人は、以下の補足を参考にしてください。
【補足】
△ABCの最大角を∠ABCとします。余弦定理から
cos∠ABC＝AB2+BC2−AC2/2AB2・BC2
AB＞0, BC＞0, AC＞0より、2AB2・BC2＞0
よって、AB2+BC2−AC2の正負でcos∠ABCの正負が決まります。
AB2+BC2−AC2＞0 ならば cos∠ABCは正 このとき、∠ABCは鋭角
AB2+BC2−AC2＝0 ならば cos∠ABCは0 このとき、∠ABCは直角
AB2+BC2−AC2＜0 ならば cos∠ABCは負 このとき、∠ABCは鈍角
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02
cosABC=(1-3AB2)/2ABに、AB=√5/3を代入すると、
cosABC=(1-3・5/9)/2・√5/3
cosABC=-√5/5
三角形の内角の和は0°以上180°以下の範囲ですので、cosが負の値の時、その角度は鈍角と言うことができます。
したがって、ABCの角度は鈍角となります。
解説により、正解となります。
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