大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問28 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問1)
問題文
（ ア ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問28（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
（ ア ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
- 1
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この過去問の解説 （2件）
01
この問題は次の4ステップで解き進めましょう。
①<規則1>を理解する 補足は赤文字で示してあります。
②点Pの動きをイメージする
例として示されている点Pの動き方を図に表しました。
問題文の「例えば…」から始まる箇所です。イメージの参考にしてください。
③何を求めたいのか理解する
今回（ア）で求めたいのは、「条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は何通りあるか」です。
最終的に求めたい値は、「硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件 y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊） を満たす確率」です。下図のようなイメージを持っておくとよさそうですね。
④答えを求める
それでは解答してみましょう。
答えは （ア）＝1 （通り）です。
図が示されていますから、直感的に解くことができます。
※大問の最後まで解き進めたい場合、この考え方だけでは行き詰まってしまいます。
必ず【まとめ】も読んでおいてください。
・図が示されている
・x座標は増加のみ
ですから、この手の問題としては比較的易しいといえます。
図が示されないタイプの類題もあるかもしれません。そのときは、
1回目は（1, 1）, （1, -1）のどちらか
どちらもy1≧-1を満たす
2回目は①（1, 1）→（2, 2）, ②（1, 1）→（2, 0）, ③（1, -1）→（2, 0）, ④（1, -1）→（2, -2）のどれか
このうちy2≧-1を満たすのは①と②と③
3回目で点Pが（3, 3）にたどり着くためには、2回目の試行が終わった時点で（2, 2）にいる必要がある
2回目の試行で（2, 2）にたどり着く点Pの移動の仕方は1通りしかないから、答えは（ア）＝1 （通り）
という手順で解き進めると良いでしょう。
問題文の図に四角囲みの数字を記入しているのは、下線部の考え方と同じですね。直前に点Ｐがいる座標への移動の仕方が1通りしかなければ、おのずと答えの座標にたどり着く移動の仕方も1通りになります。
参考になった数0
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02
図2を確認すると、(3,3)に行くためには必ず(2,2)を通らなければならないのです。
そして、図2から(2,2)に行くための移動の仕方は1通りですので、アは1となります。
上記により正解となります。
参考になった数0
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