大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問27 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問15)

相関係数についての問題です。問題文で示された不等式に数値を代入すれば求められます。

（ヌ）（ネ）の解答を示します。参考にしてください。

共分散の公式より

 

s_xy＝{（a²+2a+1）+（a²−1）+（a²−1）+（a²−2a+1）+16a²}/5

     ＝20a²/5

     ＝4a²

 

したがって、答えは　（ヌ）＝4a²　です。

xの標準偏差をs_x, yの標準偏差をs_yとします。

 

s_x＝√［{（−1−a）²+（−1−a）²+（1−a）²+（1−a）²+（4a）²｝/5］

　＝√［2{（1+a）²+（1−a）²+8a²｝/5]

　＝2√{a²+（1/5）}

s_y＝{（−1−a）²+（1−a）²+（−1−a）²+（1-a）²+（4a）²｝/5

　＝2√{a²+(1/5)}

 

よって、　s_xs_y＝4a²+（4/5）

したがって、答えは　（ネ）＝4a²+（4/5）　です。

xの標準偏差をs_xとすると標準偏差を求める式はs_x＝√(xの分散)です。

また、分散を求めるには、(x-x̄)^２を平均する必要があります。
 

x̄=1/5{(-1)+(-1)+1+1+5a}=aより、表1は以下の通りになります。

したがって、s_x=1/5{(-1-a)²+(-1-a)²+(1-a)²+(1-a)²+(4a)²｝=√{4a²+(4/5)}

同様に、yの標準偏差は、s_y=1/5{(-1-a)²+(1-a)²+(-1-a)²+(1-a)²+(4a)²｝=√{4a²+(4/5)}

よってs_xs_y=√{4a²+(4/5)}√{4a²+(4/5)})=4a²+(4/5)となります。

同様に、共分散についてはs_xy=1/5{(a²+2a+1)+(a²-1)+(a²-1)+(a²-2a+1)+16a²}=4a²となります。

設問により、s_xy≥0.98s_xs_yに代入すると、

4a²≥0.98{4a²+(4/5)}

これを計算すると、a²≥(95/25)

したがって、a≤-(√95/5)、(√95/5)≤aとなります。