大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問26 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問14)
問題文
（ ネ ）にあてはまるものを1つ選べ。
変量x，yの値の組
（−1，−1），（−1，1），（1，−1），（1，1）
をデータWとする。データWのxとyの相関係数は0である。データWに、新たに1個の値の組を加えたときの相関係数について調べる。なお、必要に応じて、後に示す表1の計算表を用いて考えてもよい。
変量x，yの値の組
（−1，−1），（−1，1），（1，−1），（1，1）
をデータWとする。データWのxとyの相関係数は0である。データWに、新たに1個の値の組を加えたときの相関係数について調べる。なお、必要に応じて、後に示す表1の計算表を用いて考えてもよい。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問26（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問14） （訂正依頼・報告はこちら）
（ ネ ）にあてはまるものを1つ選べ。
変量x，yの値の組
（−1，−1），（−1，1），（1，−1），（1，1）
をデータWとする。データWのxとyの相関係数は0である。データWに、新たに1個の値の組を加えたときの相関係数について調べる。なお、必要に応じて、後に示す表1の計算表を用いて考えてもよい。
変量x，yの値の組
（−1，−1），（−1，1），（1，−1），（1，1）
をデータWとする。データWのxとyの相関係数は0である。データWに、新たに1個の値の組を加えたときの相関係数について調べる。なお、必要に応じて、後に示す表1の計算表を用いて考えてもよい。
- 4a2＋（16／5）a＋（4／5）
- 4a2＋1
- 4a2＋（4／5）
- 2a2＋（2／5）
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この過去問の解説 （2件）
01
分散とは、偏差の2乗の平均のことです。
xの標準偏差とは、xの分散の平方根のことです。
どちらもデータの散らばり具合を示す数値です。
理論を証明するときなどは分散を用いることが多いですが、分散は計算の途中で2乗するため単位が変わってしまいます。そのときに標準偏差を用いると、散らばり具合が分かりやすくなります。
以下に記入済みの計算表を示します。参考にしてください。
xの標準偏差をsx, yの標準偏差をsyとします。
sx＝√［{（−1−a）2+（−1−a）2+（1−a）2+（1−a）2+（4a）2｝/5］
＝√［2{（1+a）2+（1−a）2+8a2｝/5]
＝2√{a2+（1/5）}
sy＝{（−1−a）2+（1−a）2+（−1−a）2+（1-a）2+（4a）2｝/5
＝2√{a2+(1/5)}
よって、 sxsy＝4a2+（4/5）
したがって、答えは （ネ）＝4a2+（4/5） です。
計算ミスに注意しましょう。
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02
xの標準偏差をsxとすると標準偏差を求める式はsx＝√(xの分散)です。
また、分散を求めるには、(x-x̄)２を平均する必要があります。
x̄=1/5{(-1)+(-1)+1+1+5a}=aより、表1は以下の通りになります。
したがって、sx=1/5{(-1-a)2+(-1-a)2+(1-a)2+(1-a)2+(4a)2｝=√{4a2+(4/5)}
同様に、yの標準偏差は、sy=1/5{(-1-a)2+(1-a)2+(-1-a)2+(1-a)2+(4a)2｝=√{4a2+(4/5)}
よってsxsy=√{4a2+(4/5)}√{4a2+(4/5)})=4a2+(4/5)となります。
上記の計算により、正解です。
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