共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問31 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問4)
問題文
（ エ ）・（ オ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
（ⅱ）硬貨を4回投げるとする。このとき、（ⅰ）と同様に図を用いて考えよう。
y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0である確率は
（ エ ）／（ オ ）となる。
また、y1≧0かつy2≧0かつy3＝1かつy4≧0である確率は
（ カ ）／（ キ ）となる。
さらに、y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0であったとき、
y3＝1である条件付き確率は
（ ク ）／（ ケ ）となる。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
（ⅱ）硬貨を4回投げるとする。このとき、（ⅰ）と同様に図を用いて考えよう。
y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0である確率は
（ エ ）／（ オ ）となる。
また、y1≧0かつy2≧0かつy3＝1かつy4≧0である確率は
（ カ ）／（ キ ）となる。
さらに、y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0であったとき、
y3＝1である条件付き確率は
（ ク ）／（ ケ ）となる。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問31（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
（ エ ）・（ オ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
（ⅱ）硬貨を4回投げるとする。このとき、（ⅰ）と同様に図を用いて考えよう。
y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0である確率は
（ エ ）／（ オ ）となる。
また、y1≧0かつy2≧0かつy3＝1かつy4≧0である確率は
（ カ ）／（ キ ）となる。
さらに、y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0であったとき、
y3＝1である条件付き確率は
（ ク ）／（ ケ ）となる。
（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。
＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。
また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，yk）で表す。
座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。
（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件
y1≧−1かつy2≧−1かつy3≧−1 ・・・・・（＊）
を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（ ア ）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（ イ ）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（ ウ ）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（ ア ）＋（ イ ）＋（ ウ ）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［ ア ］＋［ イ ］＋［ ウ ］）／23
として求めることができる。
（ⅱ）硬貨を4回投げるとする。このとき、（ⅰ）と同様に図を用いて考えよう。
y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0である確率は
（ エ ）／（ オ ）となる。
また、y1≧0かつy2≧0かつy3＝1かつy4≧0である確率は
（ カ ）／（ キ ）となる。
さらに、y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0であったとき、
y3＝1である条件付き確率は
（ ク ）／（ ケ ）となる。
- エ：1 オ：4
- エ：3 オ：4
- エ：3 オ：8
- エ：5 オ：8
正解！素晴らしいです
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この過去問の解説 （3件）
01
図も参考にして考えます。
+1 と -1 の4つの組み合わせを考え、問題文の条件で到達できる点は、
(4, 4), (4, 2), (4, 0) のみとなります。
①(4, 4)：4回とも「表」の 1 通り
②(4, 2)：「表」が3回、「裏」が1回の場合で、「裏」が最初以外の何回めに出るかを考えて 3 通り
③(4, 0)：最初に「表」が2回、次に「裏」が2回の場合と「表」「裏」「表」「裏」の順で出た場合の 2 通り
合計 1 + 3 + 2 = 6 通りです。
起こり得る全ての場合の数は、24=16 通りなので、
求める確率は 6/16 = 3/8 です。
エ：3 オ：8 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
次のように考える事もできます。
起こり得る全ての場合の数は、24=16 通り
ここから除外される場合の数は、
裏が4回出る場合： 1 通り
裏が3回出る場合：何回目に出るかの組み合わせの数を考えて 4C3 = 4 通り
裏が2回出る場合：最初が裏の場合、残りの裏が何回めに出るかを考えて 3 通りです。最初が表の場合、2回めと3回めに出る必要があるので 1 通りです。合計 3 + 1 = 4 通りです。
裏が1回出る場合：最初にだけ裏が出る場合の 1 通り
除外される場合の数は、
合計 1 + 4 + 4 + 1 = 10通りとなります。
よって求める確率は、
(16 - 10)/16 = 6/16 = 3/8
y1≧0 かつ y2≧0 かつ y3≧ 0かつ y4≧0 という条件は、
y = -1 となる場合が1回もあってはならない事を意味します。
そのため1回目の試行は必ず「表」である必要があります。
図を使う場合にも、その事を利用すると考えやすくなります。
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02
（エ）からは確率を求める問題です。試行回数と条件が増えました。
（ア）～（ウ）は1通りずつイメージすることもできましたが、ここからは問題と同様に考えてみましょう。
y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0のとき、点Pは橙色に塗られた範囲を移動します。また、4回目の試行が終わった時点でx＝4ですから、点Pは赤茶色の線上にいます。
図より条件を満たす点Pの移動の仕方は6通りです。
硬貨を4回連続で投げたとき、点Pの移動の仕方は24＝16（通り）です。
y1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0である確率は
6/16＝3/8
したがって、答えは （エ）＝3, （オ）＝8 です。
落ち着いて解き進めましょう。
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03
図に動き方を書いていくと以下のようになります。(①は移動の仕方の総和となります。)
よって、硬貨を4回投げるとy1≧0かつy2≧0かつy3≧0かつy4≧0となるのは1+3+2=6通り存在します。
よって6/24=3/8となります。
上記の計算によって正解となります。
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