共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問33 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問6)

「y₁ ≧ 0 かつ y₂ ≧ 0 かつ y₃ ≧ 0かつ y₄ ≧ 0」が既に確定している時、
起こり得る場合の数は設問（エ）（オ）から 6 通りで、
確率は 6/16 です。

次に「y₁≧0 かつ y₂≧0 かつ y₃≧ 0かつ y₄≧0」かつ「y₃= 1」の場合は、
「y₁ ≧ 0 かつ y₂ ≧ 0 かつ y₃ = 1 かつ y₄ ≧0」の場合です。
起こり得る場合の数は設問（カ）（キ）から4通りで、
確率は 4/16 です。

よって、
y₁ ≧0 かつ y₂ ≧ 0 かつ y₃ ≧ 0かつ y₄ ≧ 0 が分かっている時の
y₃ = 1 である条件付き確率は、
(4/16)/(6/16) = 4/6 = 2/3 となります。

ク：2　ケ：3　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（エ）（オ）

図も参考にして考えます。
+1 と -1 の4つの組み合わせを考え、問題文の条件で到達できる点は、
(4, 4), (4, 2), (4, 0) のみとなります。

①(4, 4)：4回とも「表」の 1 通り
②(4, 2)：「表」が3回、「裏」が1回の場合で、「裏」が最初以外の何回めに出るかを考えて 3 通り
③(4, 0)：最初に「表」が2回、次に「裏」が2回の場合と「表」「裏」「表」「裏」の順で出た場合の 2 通り

 

合計 1 + 3 + 2 = 6 通りです。

起こり得る全ての場合の数は、2⁴=16 通りなので、
求める確率は 6/16 = 3/8 です。

設問（カ）（キ）

y₁ ≧ 0かつ y₂ ≧0 かつ y₃ = 1 かつ y₄ ≧ 0 の条件のもとで、
y₃ = 1 となる場合は、
1回めの試行は必ず「表」です。
2回めと3回目の試行は「表」「裏」の順で出るか、「裏」「表」の順で出るかの 2 通りです。
4回めは「表」でも「裏」でもよいので、 3回めの試行が終わった時点から 2 通りずつあります。

よって、起こり得る場合の数は 2・2＝4 通りあり、
起こり得る全ての場合の数は、2⁴=16 通りなので、
求める確率は 4/16 = 1/4 です。

条件付き確率を求める問題です。

条件付き確率とは「ある事象Aが起こる条件のもとで事象Bが起こる確率」で、記号ではP_A（B）と表されます。

以下の公式を覚えておきましょう。

【条件付き確率の公式】　P_A（B）＝P（A∩B）/P（A）

（条件付き確率）＝（事象Aと事象Bが同時に起こる確率）/（事象Aが起こる確率）

今回のP（A）は「y₁≧0かつy₂≧0かつy₃≧0かつy₄≧0である確率」、P（A∩B）は「y₁≧0かつy₂≧0かつy₃＝1かつy₄≧0である確率」です。

（エ）～（キ）の計算結果を利用できそうですね。

以下に（エ）（オ）、（カ）（キ）の解答を一部抜粋します。参考にしてください。

y₁≧0かつy₂≧0かつy₃≧0かつy₄≧0である確率は

6/16＝3/8

したがって、答えは　（エ）＝3, （オ）＝8　です。

y₁≧0かつy₂≧0かつy₃＝1かつy₄≧0である確率は

4/16＝1/4

したがって、答えは（カ）＝1, （キ）＝4　です。

図に動き方を書いていくと以下のようになります。(①は移動の仕方の総和となります。)

 

 

よって、硬貨を4回投げるとy₁≧0かつy₂≧0かつy₃≧0かつy₄≧0となるのは1+3+2=6通り存在します。

よって6/2⁴=3/8となります。

同様に、、y₁≧0かつy₂≧0かつy₃＝1かつy₄≧0である確率を考える際に図を使うと、以下の通りになります。

したがって、この時の確率は4/2⁴=1/4となります。

条件付き確率の公式は、P_A(B)=P(A∩B)/P(A)となります。
A=y₁≧0かつy₂≧0かつy₃≧0かつy₄≧0であり、B=y₃＝1となります。

よって、P(A∩B)=1/4、P(A)=3/8となりますので、P_A(B)=2/3と求めることができます。