共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問35 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8)
問題文
（ サシ ）・（ スセソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（2）1個のさいころを繰り返し投げるとき、このさいころの目の出方に応じて、数直線上の点Qが次の規則2に従って移動するものとする。
＜規則2＞
・点Qは原点Oを出発点とする。
・点Qの座標は、さいころを投げるごとに、3の倍数の目が出たら1だけ増加し、それ以外の目が出たら1だけ減少する。
（ⅰ）さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である確率は
（ サシ ）／（ スセソ ）となる。
（2）1個のさいころを繰り返し投げるとき、このさいころの目の出方に応じて、数直線上の点Qが次の規則2に従って移動するものとする。
＜規則2＞
・点Qは原点Oを出発点とする。
・点Qの座標は、さいころを投げるごとに、3の倍数の目が出たら1だけ増加し、それ以外の目が出たら1だけ減少する。
（ⅰ）さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である確率は
（ サシ ）／（ スセソ ）となる。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問35（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
（ サシ ）・（ スセソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（2）1個のさいころを繰り返し投げるとき、このさいころの目の出方に応じて、数直線上の点Qが次の規則2に従って移動するものとする。
＜規則2＞
・点Qは原点Oを出発点とする。
・点Qの座標は、さいころを投げるごとに、3の倍数の目が出たら1だけ増加し、それ以外の目が出たら1だけ減少する。
（ⅰ）さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である確率は
（ サシ ）／（ スセソ ）となる。
（2）1個のさいころを繰り返し投げるとき、このさいころの目の出方に応じて、数直線上の点Qが次の規則2に従って移動するものとする。
＜規則2＞
・点Qは原点Oを出発点とする。
・点Qの座標は、さいころを投げるごとに、3の倍数の目が出たら1だけ増加し、それ以外の目が出たら1だけ減少する。
（ⅰ）さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である確率は
（ サシ ）／（ スセソ ）となる。
- サシ：25 スセソ：249
- サシ：26 スセソ：423
- サシ：27 スセソ：624
- サシ：28 スセソ：729
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この過去問の解説 （3件）
01
「+1 と -1 を7つ足し合わせて 2 になる」組を考えます。
x - y = 3
x + y = 7 を考えると、
2x = 10 ⇔ x = 5 となり、
「3 の倍数」が5回出たときのみ点Qは「座標3」の位置になる事が分かります。
1回の試行で「3 の倍数」が出る確率は 2/6 = 1/3 です。
これが5回出るので5乗します。
それ以外の数値が出る確率は 1 - 1/3 = 2/3 であり、
これは2回出るので2乗します。
次に、何回めと何回めに「3 の倍数」が出るかの組み合わせの数も考える必要があります。
すなわち組み合わせの数 7C5 を掛ける必要があります。
以上より、求める確率は、
7C5(1/3)5(2/3)2 = 7C2(1/3)5(2/3)2 = {7・6/(2・1)}(1/3)5(2/3)2
= (7・4)/(36) = 28/(93) = 28/729
サシ：28 スセソ：729 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
途中計算で 7C5 = 7C2 としています。
実際、7・6・5・4・3/(5・4・3・2・1) =7・6/(2・1) です。
（公式 nCr = nCn-rを使っています。）
また、分子の「6」は分母の「2」と「3」で約分しています。
93 は、81・9 =729 と考えると計算しやすいでしょう。
「+1 と -1 を7つ足し合わせて 2 になる」組がまず問題になりますが、
計算してみると1通りの組み合わせしかない事が分かります。
（この時点ではまだ順番を考慮していません。）
次に、7 回の独立した試行のうち、「3 の倍数が 5 回出る組み合わせの数」を考えます。
それが上記解説の計算での 7C5 の部分です。
nCr = n!/{(n-r)!・r!} です。
r を n-r に置き換えると、nCr = nCn-r となります。
「!」は階乗の記号で、
例えば 5! = 5・4・3・2・1 です。
7C2 = 7・6/(2・1)= 21 のように計算できます。
7・6 の部分が公式で言うと n!/{(n-r)!} の部分です。
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02
数直線上を動く点Qについての問題です。
＜規則2＞の要約は以下の通りです。
さいころを7回投げ終えた時点での点Qの座標が3ですから、サイコロは
5だけ正の方向へ
2だけ負の方向へ
進んだことになりますね。
これと＜規則2＞から、『さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である確率』は『さいころを7回連続で投げたとき、3の倍数の目が5回（、それ以外が2回）出る確率』と言い換えることができます。
さいころを投げて3の倍数（3, 6）が出る確率は
2/6＝1/3
それ以外が出る確率は
1-（１/３）＝2/3
さいころを7回連続で投げたとき、3の倍数の目が5回出る確率は
7C5（1/3）5（2/3）2
＝21・（4/37）
＝28/729
したがって、答えは（サシ）＝28, （スセソ）＝729 です。
確率の問題は、問題文を自分でかみ砕いて一般化することも大切です。『さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である確率』よりも『さいころを7回連続で投げたとき、3の倍数の目が5回出る確率』のほうが、より教科書で見慣れた形をしていますよね。
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03
さいころを1回投げたときに、
3の倍数の目が出るときの確率は、2/6=1/3
同様に3の倍数以外の目が出るときの確率は、3/6=2/3 となります。
設問より、点Qの座標が3であるときに、3の倍数の目がk回出たとすると、
k-(7-k)=3
これを解くと、k=3
さいころを7回投げて点Qの座標が3になるには、3の倍数の目が5回、それ以外が2回出る場合である。
よって、7C5(1/3)5(2/3)2という式が成り立ちます。
これを計算すると、7C5(1/3)5(2/3)2=21・1/243・4/9=28/729
上記の計算結果より、数値が不適当ですので不正解です。
上記の計算結果より、数値が不適当ですので不正解です。
上記の計算結果より、数値が不適当ですので不正解です。
上記の計算結果より、数値が適当ですので正解です。
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