共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問9)

（※本解説では「3の倍数の目」を +1、「それ以外の目」を -1 と略記します。）

ここでは、設問（サ）～（ソ）の場合から除外される場合を考えて確率を求めてみます。
設問（サ）～（ソ）の場合から除外される場合は、
①続けて+1が4回出る場合：この場合は残り3回に-1が2回含まれるので₃C₂ = 3 通りあります。
②最初に-1が出る場合：この場合は残り6回に-1が1回含まれるので ₆C₁ = 6通りあります。
③最初に+1が出て、2回めと3回めが-1 の場合：これは1通りあります。
④最初に +1が出て、2～4回めのいずれかに-1が１回出て、7回めにもう1つの -1 が出る場合：
最初の -1 が 2～4 回めのいずれかに出る 3通りあります。

確率としては、
(3 + 6 + 1 +3 )(1/3)⁵(2/3)² = 13・(1/3)⁵(2/3)² が除外されます。

よって求める確率は、設問（サ）～（ソ）の結果も使い、
₇C₅(1/3)⁵(2/3)² - 13・(1/3)⁵(2/3)² = (21・4  - 13・4)/(3⁷)
= 32/2187

タチ：32　ツテト：2187　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

設問（サ）～（ソ）

「+1 と -1 を7つ足し合わせて 2 になる」組を考えます。
x - y = 3
x + y = 7 を考えると、
2x = 10 ⇔ x = 5 となり、
「3 の倍数」が5回出たときのみ点Qは「座標3」の位置になる事が分かります。
 

1回の試行で「3 の倍数」が出る確率は 2/6 = 1/3 です。

これが5回出るので5乗します。
それ以外の数値が出る確率は 1 - 1/3 = 2/3 であり、

これは2回出るので2乗します。
次に、何回めと何回めに「3 の倍数」が出るかの組み合わせの数も考える必要があります。
すなわち組み合わせの数 ₇C₅ を掛ける必要があります。

 

以上より、求める確率は、
₇C₅(1/3)⁵(2/3)² =  ₇C₂(1/3)⁵(2/3)² = {7・6/(2・1)}(1/3)⁵(2/3)² 
= (7・4)/(3⁶) = 28/(9³) = 28/729

問題全体の流れを読む力の有無で解答時間が大きく変わります。

本大問には疑問を持つべきタイミングが存在します。

図を使って解くことに気づけた人は、選択肢に記載した解答のみ参照すればOKです。

・この問題がわからなかった人

・場合分けをして解いた人

は下の【どこで疑問を持てばよいのか】を必ず読んでください。

【どこで疑問を持てばよいのか】

１回目：（２）の問題文を読み始めたとき

疑問点１：座標が数直線に変わったこと

前提として、ほとんどの数学の問題は（１）が最も簡単です。（１）は単純な計算問題（いわゆる『サービス問題』）か、最終的に（2）の答えを出すための誘導問題（今回はこちら）の2種類に分けられます。

しかしこの問題は明らかに（１）のほうが複雑ですよね。点Pは座標平面上を動きますから、y座標の移動についても考えなければなりません。それが（２）になったとたん、数直線上の移動だけ考えればよくなりました。まずはこの流れに疑問を持ちましょう。

２回目：（２）（ii）で場合分けを思いついたとき

疑問点：（１）の考え方を使わずに終わること

（１）は最終的に（2）の答えを出すための誘導問題でしたね。ここでは「（１）の考え方を使えば場合分けするよりも速く解けるよ！」と示しています。場合分けすると（１）の考え方を全く使わないまま解き終わるため、（１）と（２）を同じ大問にした意味が分からなくなります。

さて、もう一度この図を見てください。（１）では硬貨を4回までしか投げませんでした。しかし図にはx＝7まで書かれています。さらに今回さいころを投げる回数は7です。この図を使ってほしいという出題者の意図が読み取れますね。

この図を活用して（ii）を解いてみましょう。

（１）ではx軸が硬貨を投げた回数、y軸が硬貨を投げたときの表裏で増減する値でした。同様に、（２）ではx軸がさいころを投げた回数、y軸がさいころの目によって増減する値（＝点Qが位置している数直線上の座標）とします。

この問題は、場合分けをして考えることも可能でありますが時間がかかりますので、以下の図を使用して設問の条件に満たす通りを考えていきます。(第3問(1)で使用した図です。)
座標のx軸をさいころを振った回数、y軸を数直線の座標と定義付けます。

図より、設問の条件を満たすさいころの振り方は8通りと分かります。

点Qの座標が3であるときに、3の倍数の目がk回出たとすると、
k-(7-k)=3
これを解くと、k=3

さいころを7回投げて点Qの座標が3になるには、3の倍数の目が5回、それ以外が2回出る場合になります。

よって、8・(1/3)⁵(2/3)²=32/2187となります。