大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問37 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10)

条件付き確率を求める問題です。公式を覚えたうえで、（タチ）（ツテトナ）を正解していなければなりません。

以下に（ク）（ケ）の解説の冒頭を一部抜粋しました。参考にしてください。

条件付き確率とは「ある事象Aが起こる条件のもとで事象Bが起こる確率」で、記号ではP_A（B）と表されます。

以下の公式を覚えておきましょう。

 

【条件付き確率の公式】　P_A（B）＝P（A∩B）/P（A）

（条件付き確率）＝（事象Aと事象Bが同時に起こる確率）/（事象Aが起こる確率）

以下に（タチ）（ツテトナ）の解説を一部抜粋しました。参考にしてください。

x軸をさいころを投げた回数、y軸を点Qが位置している数直線上の座標とします。

図に表すと以下の通りです。

図から、条件を満たすさいころの目の出方は8通りだと分かります。

さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3であるとき、3の倍数の目が出る回数が5、それ以外の目が出る回数が2ですね。

 

よって求める確率は

8・(1/3)⁵・(2/3)²=32 / 2187

 

したがって、答えは　（タチ）＝32, （ツテトナ）＝2187　です。

(ⅱ)この問題は、場合分けをして考えることも可能でありますが時間がかかりますので、以下の図を使用して設問の条件に満たす通りを考えていきます。(第3問(1)で使用した図です。)
座標のx軸をさいころを振った回数、y軸を数直線の座標と定義付けます。

 

 

図より、設問の条件を満たすさいころの振り方は8通りと分かります。

 

点Qの座標が3であるときに、3の倍数の目がk回出たとすると、
k-(7-k)=3
これを解くと、k=3

さいころを7回投げて点Qの座標が3になるには、3の倍数の目が5回、それ以外が2回出る場合になります。

 

よって、8・(1/3)⁵(2/3)²=32/2187となります。

条件付き確率の公式は、P_A(B)=P(A∩B)/P(A)となります。

A=点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である。

B=3回投げ終えた時点で点Qの座標が1である

となります。

「点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3であり、3回投げ終えた時点で点Qの座標が1である」ときの座標の動き方は以下の通りであります。

以上により、条件を満たすさいころの振り方は6通りです。

点Qの座標が3であるときに、3の倍数の目がk回出たとすると、
k-(7-k)=3
これを解くと、k=3

さいころを7回投げて点Qの座標が3になるには、3の倍数の目が5回、それ以外が2回出る場合になります。

よって、6・(1/3)⁵(2/3)²=24/2187となります。

条件付き確率の公式は、P_A(B)=P(A∩B)/P(A)となります。

A=点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である。

B=3回投げ終えた時点で点Qの座標が1である

となります。

つまり、P(A)=32/2187、P(A∩B)=24/2187となります

したがって、(24/2187)÷(32/2187)=3/4となります。