共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問37 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10)

（※本解説では「3の倍数の目」を +1、「それ以外の目」を -1 と略記します。）
x - y = 1
x + y = 3 を考えると、
2x = 4 ⇔ x = 2
「3回めにQの座標が 1 」である場合は +1 が2回、-1が1回出る場合のみです。

他方、
「点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3」である場合の確率は、

設問（タ）～（ナ）より32/(3⁷) です。

その時に、同時に「3回めにQの座標が 1 である場合」は、
3 回めの時点では +1 +1 -1 と +1 -1 +1 の 2 通りのみで、
設問（タ）～（ナ）の場合分け④を除外して2回目の -1 は4, 5, 6 回目のいずれかに出るので6回めの時点でさらに 3 通りあります。
よって、その確率は 2・3・(1/3)⁵(2/3)²= 24/(3⁷) です。

よって、
「点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3」である事が分かっている時に「3回めにQの座標が 1 である場合」の条件付き確率は、
24/(3⁷)/{32/(3⁷)} = 24/32 = 3/4

ニ：3　ヌ：4　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（タ）～（ナ）

ここでは、設問（サ）～（ソ）の場合から除外される場合を考えて確率を求めてみます。
設問（サ）～（ソ）の場合から除外される場合は、
①続けて+1が4回出る場合：この場合は残り3回に-1が2回含まれるので₃C₂ = 3 通りあります。
②最初に-1が出る場合：この場合は残り6回に-1が1回含まれるので ₆C₁ = 6通りあります。
③最初に+1が出て、2回めと3回めが-1 の場合：これは1通りあります。
④最初に +1が出て、2～4回めのいずれかに-1が１回出て、7回めにもう1つの -1 が出る場合：
最初の -1 が 2～4 回めのいずれかに出る 3通りあります。

 

確率としては、
(3 + 6 + 1 +3 )(1/3)⁵(2/3)² = 13・(1/3)⁵(2/3)² が除外されます。

 

よって求める確率は、設問（サ）～（ソ）の結果も使い、
₇C₅(1/3)⁵(2/3)² - 13・(1/3)⁵(2/3)² = (21・4  - 13・4)/(3⁷)
= 32/2187

設問（サ）～（ソ）

「+1 と -1 を7つ足し合わせて 2 になる」組を考えます。
x - y = 3
x + y = 7 を考えると、
2x = 10 ⇔ x = 5 となり、
「3 の倍数」が5回出たときのみ点Qは「座標3」の位置になる事が分かります。
 

1回の試行で「3 の倍数」が出る確率は 2/6 = 1/3 です。

これが5回出るので5乗します。
それ以外の数値が出る確率は 1 - 1/3 = 2/3 であり、

これは2回出るので2乗します。
次に、何回めと何回めに「3 の倍数」が出るかの組み合わせの数も考える必要があります。
すなわち組み合わせの数 ₇C₅ を掛ける必要があります。

 

以上より、求める確率は、
₇C₅(1/3)⁵(2/3)² =  ₇C₂(1/3)⁵(2/3)² = {7・6/(2・1)}(1/3)⁵(2/3)² 
= (7・4)/(3⁶) = 28/(9³) = 28/729

条件付き確率を求める問題です。公式を覚えたうえで、（タチ）（ツテトナ）を正解していなければなりません。

以下に（ク）（ケ）の解説の冒頭を一部抜粋しました。参考にしてください。

条件付き確率とは「ある事象Aが起こる条件のもとで事象Bが起こる確率」で、記号ではP_A（B）と表されます。

以下の公式を覚えておきましょう。

 

【条件付き確率の公式】　P_A（B）＝P（A∩B）/P（A）

（条件付き確率）＝（事象Aと事象Bが同時に起こる確率）/（事象Aが起こる確率）

以下に（タチ）（ツテトナ）の解説を一部抜粋しました。参考にしてください。

x軸をさいころを投げた回数、y軸を点Qが位置している数直線上の座標とします。

図に表すと以下の通りです。

図から、条件を満たすさいころの目の出方は8通りだと分かります。

さいころを7回投げ終えた時点で点Qの座標が3であるとき、3の倍数の目が出る回数が5、それ以外の目が出る回数が2ですね。

 

よって求める確率は

8・(1/3)⁵・(2/3)²=32 / 2187

 

したがって、答えは　（タチ）＝32, （ツテトナ）＝2187　です。

(ⅱ)この問題は、場合分けをして考えることも可能でありますが時間がかかりますので、以下の図を使用して設問の条件に満たす通りを考えていきます。(第3問(1)で使用した図です。)
座標のx軸をさいころを振った回数、y軸を数直線の座標と定義付けます。

 

 

図より、設問の条件を満たすさいころの振り方は8通りと分かります。

 

点Qの座標が3であるときに、3の倍数の目がk回出たとすると、
k-(7-k)=3
これを解くと、k=3

さいころを7回投げて点Qの座標が3になるには、3の倍数の目が5回、それ以外が2回出る場合になります。

 

よって、8・(1/3)⁵(2/3)²=32/2187となります。

条件付き確率の公式は、P_A(B)=P(A∩B)/P(A)となります。

A=点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である。

B=3回投げ終えた時点で点Qの座標が1である

となります。

「点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3であり、3回投げ終えた時点で点Qの座標が1である」ときの座標の動き方は以下の通りであります。

以上により、条件を満たすさいころの振り方は6通りです。

点Qの座標が3であるときに、3の倍数の目がk回出たとすると、
k-(7-k)=3
これを解くと、k=3

さいころを7回投げて点Qの座標が3になるには、3の倍数の目が5回、それ以外が2回出る場合になります。

よって、6・(1/3)⁵(2/3)²=24/2187となります。

条件付き確率の公式は、P_A(B)=P(A∩B)/P(A)となります。

A=点Qの座標がつねに0以上3以下であり、かつ7回投げ終えた時点で点Qの座標が3である。

B=3回投げ終えた時点で点Qの座標が1である

となります。

つまり、P(A)=32/2187、P(A∩B)=24/2187となります

したがって、(24/2187)÷(32/2187)=3/4となります。