共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問39 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2)
問題文
（ オ ）・（ カキ ）にあてはまるものを1つ選べ。
x、y、zについての二つの式をともに満たす整数x、y、zが存在するかどうかを考えてみよう。
（1）二つの式が
7x＋13y＋17z＝8 ・・・・・①
と
35x＋39y＋34z＝37 ・・・・・②
の場合を考える。①、②からxを消去すると
（ アイ ）y＋（ ウエ ）z＝3 ・・・・・③
を得る。③をy、zについての不定方程式とみると、その整数解のうち、yが正の整数で最小になるのは
y＝（ オ ）、z＝（ カキ ）
である。よって、③のすべての整数解は、kを整数として
y＝（ オ ）−（ クケ ）k、z＝（ カキ ）＋（ コサ ）k
と表される。これらを①に代入してxを求めると
x＝31k−3＋｛（【 シ 】k＋2）／7｝
となるので、xが整数になるのは、kを7で割ったときの余りが（ ス ）のときである。
以上のことから、この場合は、二つの式をともに満たす整数x，y，zが存在することがわかる。
x、y、zについての二つの式をともに満たす整数x、y、zが存在するかどうかを考えてみよう。
（1）二つの式が
7x＋13y＋17z＝8 ・・・・・①
と
35x＋39y＋34z＝37 ・・・・・②
の場合を考える。①、②からxを消去すると
（ アイ ）y＋（ ウエ ）z＝3 ・・・・・③
を得る。③をy、zについての不定方程式とみると、その整数解のうち、yが正の整数で最小になるのは
y＝（ オ ）、z＝（ カキ ）
である。よって、③のすべての整数解は、kを整数として
y＝（ オ ）−（ クケ ）k、z＝（ カキ ）＋（ コサ ）k
と表される。これらを①に代入してxを求めると
x＝31k−3＋｛（【 シ 】k＋2）／7｝
となるので、xが整数になるのは、kを7で割ったときの余りが（ ス ）のときである。
以上のことから、この場合は、二つの式をともに満たす整数x，y，zが存在することがわかる。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問39（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
（ オ ）・（ カキ ）にあてはまるものを1つ選べ。
x、y、zについての二つの式をともに満たす整数x、y、zが存在するかどうかを考えてみよう。
（1）二つの式が
7x＋13y＋17z＝8 ・・・・・①
と
35x＋39y＋34z＝37 ・・・・・②
の場合を考える。①、②からxを消去すると
（ アイ ）y＋（ ウエ ）z＝3 ・・・・・③
を得る。③をy、zについての不定方程式とみると、その整数解のうち、yが正の整数で最小になるのは
y＝（ オ ）、z＝（ カキ ）
である。よって、③のすべての整数解は、kを整数として
y＝（ オ ）−（ クケ ）k、z＝（ カキ ）＋（ コサ ）k
と表される。これらを①に代入してxを求めると
x＝31k−3＋｛（【 シ 】k＋2）／7｝
となるので、xが整数になるのは、kを7で割ったときの余りが（ ス ）のときである。
以上のことから、この場合は、二つの式をともに満たす整数x，y，zが存在することがわかる。
x、y、zについての二つの式をともに満たす整数x、y、zが存在するかどうかを考えてみよう。
（1）二つの式が
7x＋13y＋17z＝8 ・・・・・①
と
35x＋39y＋34z＝37 ・・・・・②
の場合を考える。①、②からxを消去すると
（ アイ ）y＋（ ウエ ）z＝3 ・・・・・③
を得る。③をy、zについての不定方程式とみると、その整数解のうち、yが正の整数で最小になるのは
y＝（ オ ）、z＝（ カキ ）
である。よって、③のすべての整数解は、kを整数として
y＝（ オ ）−（ クケ ）k、z＝（ カキ ）＋（ コサ ）k
と表される。これらを①に代入してxを求めると
x＝31k−3＋｛（【 シ 】k＋2）／7｝
となるので、xが整数になるのは、kを7で割ったときの余りが（ ス ）のときである。
以上のことから、この場合は、二つの式をともに満たす整数x，y，zが存在することがわかる。
- オ：4 カキ：−1
- オ：5 カキ：−2
- オ：6 カキ：−3
- オ：7 カキ：−4
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この過去問の解説 （3件）
01
空欄（ア）〜（エ）
ユークリッド互除法を用い、まず整数解を1つ見つけます。
51=26×1+25
26=25×1+1
上の2つの式は
25=51-26×1
1=26-25×1
と移項できます。
この2式から25の書き方を改めると
1=26-(51-26×1)×1
26×2+51×(-1)=1
③の式に合わせるため、上の式を3倍すると
26×6+51×(-3)=3
となり、y=6、z=-3が③の解になります。
次にyが正の整数で最小となる解を求めます。
③からy=6、z=-3のときの式を引くと、
26(y-6)+51(z+3)=0
51(z+3)=-26(y-6)
51と26は互いに素なので-(y-6)は51の倍数となります。
aを整数とすると、
-(y-6)=51a
y=6-51a
yを代入すると、
z=-3+26a
となります。
実際のyの値は、aは整数なので、
y=..., -45, 6, 57, ...
となり、yが正の整数で最小となるのは、y=6となることがわかります。
このときのzは先程求めたz=-3となります。
ユークリッド互除法から不定方程式への利用の流れを押さえておきましょう。
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02
③の式を整理すると26y=3(-17z+1)となります。
26と3は互いに素ですので、yは３の倍数となります。
(ⅰ)y=3のとき
26・３＝3(-17z+1)
26=-17z+1
z=-25/17
不適当です。
(ⅱ)y=6
26・6＝3(-17z+1)
52=-17z+1
z=-3
適当となります。
したがってy=6、z=-3となります。
上記の計算により正解となります。
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03
２６ｙ＋５１ｚ＝３を満たすy,zの値を考えましょう。yを１から順に代入していき、式を満たすｚがあるか考えると、ｙ＝６,z=-3が分かります。
数値が違います。
数値が違います。
数値が正しく正解です。
数値が違います。
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