共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問40 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問3)

空欄（ア）〜（エ）

①×5 ... 35x+65y+85z=40
② ... 35x+39y+34z=37
①×5-② ... 26y+51z=3

空欄（オ）〜（キ）

ユークリッド互除法を用い、まず整数解を1つ見つけます。
51=26×1+25
26=25×1+1
上の2つの式は
25=51-26×1
1=26-25×1
と移項できます。
この2式から25の書き方を改めると
1=26-(51-26×1)×1
26×2+51×(-1)=1
③の式に合わせるため、上の式を3倍すると
26×6+51×(-3)=3
となり、y=6、z=-3が③の解になります。
 

次にyが正の整数で最小となる解を求めます。

③からy=6、z=-3のときの式を引くと、
26(y-6)+51(z+3)=0

51(z+3)=-26(y-6)
51と26は互いに素なので-(y-6)は51の倍数となります。
aを整数とすると、
-(y-6)=51a
y=6-51a
yを代入すると、
z=-3+26a
となります。
実際のyの値は、aは整数なので、
y=..., -45, 6, 57, ...
となり、yが正の整数で最小となるのは、y=6となることがわかります。
このときのzは先程求めたz=-3となります。

a=kとなるので、
y=6-51k
z=-3+26k

③の式を整理すると26y=3(-17z+1)となります。

26と3は互いに素ですので、yは３の倍数となります。

(ⅰ)y=3のとき

26・３＝3(-17z+1)

z=-25/17

不適当です。

(ⅱ)y=6のとき

26・6＝3(-17z+1)

z=-3

適当となります。

 

したがってy=6、z=-3となります。

式の整理を行います。

(26y−51z=3)−{26・(6)−51・(-3)=3}とすると、26・(y−6)−51・(z+3)=0

つまり、26・(y−6)=51・(z+3)

26と51は互いに素ですので上記の式が成立するには、kを整数として

y-6=-51k、z+3=26ｋ(ｋは整数)となります。

これを整理すると、

y=-51k+6

z=26k-3

となります。

クケ:51 コサ:26

２６ｙ＋５１ｚ＝３、２６・６＋５１・（ー３）＝３の２式を引き算し整理すると、

２６（６ーｙ）＝５１（ｚ＋３）が得られます。

これより、２６、５１は互いに素であるため、６－ｙは５１の倍数、ｚ＋３は２６の倍数です。

したがって、整数ｋを用いて、

６－ｙ＝５１ｋ、ｚ＋３＝２６ｋと表されます。

よってｙ＝６ー５１ｋ、ｚ＝ー３＋２６ｋです。