大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問42 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5)

③の式を整理すると26y=3(-17z+1)となります。

26と3は互いに素ですので、yは３の倍数となります。

(ⅰ)y=3のとき

26・３＝3(-17z+1)

z=-25/17

不適当です。

(ⅱ)y=6のとき

26・6＝3(-17z+1)

z=-3

適当となります。

したがってy=6、z=-3となります。

 

式の整理を行います。

(26y−51z=3)−{26・(6)−51・(-3)=3}とすると、26・(y−6)−51・(z+3)=0

つまり、26・(y−6)=51・(z+3)

26と51は互いに素ですので上記の式が成立するには、kを整数として

y-6=-51k、z+3=26ｋ(ｋは整数)となります。

これを整理すると、

y=-51k+6

z=26k-3

となります。

 

y=-51k+6、z=26k-3を①に代入すると、7x＋13(-51k+6)＋17(26k-3)＝8となります。

これを整理すると、x=(221k-19)/7となります。

これを設問の形に合わせると、31k−3＋｛(4k＋2）／7｝

ｘが整数かどうかを決めるのは、(4k＋2）/7であります。

つまり4k+2が7の倍数となれば、ｘが整数であると言えるので、7l=4k+2(lは整数)となります。

l=2のときk=3が成立することになります。

よってk=7l+3となり、kは7で割る3余る数であると言えます。

（４ｋ＋２）/７が整数になるとき、ｋがどのような値になるか考えましょう。

４ｋ＋２が７の倍数のとき、整数になります。

よって、整数ｌを用いて、４ｋ＋２＝７ｌと表せます。

この不定方程式をｋについて解きます。

ｋ＝３、ｌ＝２のとき式を満たすことを用い、ｋ＝７ｋ＋３が得られます。

したがって、ｋを７で割った余りは３と分かります。