共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問42 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5)

空欄（ア）〜（エ）

①×5 ... 35x+65y+85z=40
② ... 35x+39y+34z=37
①×5-② ... 26y+51z=3

空欄（オ）〜（キ）

ユークリッド互除法を用い、まず整数解を1つ見つけます。
51=26×1+25
26=25×1+1
上の2つの式は
25=51-26×1
1=26-25×1
と移項できます。
この2式から25の書き方を改めると
1=26-(51-26×1)×1
26×2+51×(-1)=1
③の式に合わせるため、上の式を3倍すると
26×6+51×(-3)=3
となり、y=6、z=-3が③の解になります。
 

次にyが正の整数で最小となる解を求めます。

③からy=6、z=-3のときの式を引くと、
26(y-6)+51(z+3)=0

51(z+3)=-26(y-6)
51と26は互いに素なので-(y-6)は51の倍数となります。
aを整数とすると、
-(y-6)=51a
y=6-51a
yを代入すると、
z=-3+26a
となります。
実際のyの値は、aは整数なので、
y=..., -45, 6, 57, ...
となり、yが正の整数で最小となるのは、y=6となることがわかります。
このときのzは先程求めたz=-3となります。

空欄（ク）〜（サ）

a=kとなるので、
y=6-51k
z=-3+26k

空欄（シ）

y,zを①に代入すると、
7x＋13(6-51k)＋17（-3+26k)=8
x=(221k-19)/7
=31k-3+((4k+2)/7)

x=31k-3+((4k+2)/7)
でkは整数なので、31k-3も整数です。
問題は(4k+2)/7の部分ですが、
(4k+2)/7=2(2k+1)/7
より、(2k+1)は7の倍数になれば整数になることがわかります。
今、bを整数とすると、
7b=2k+1

ユークリッド互除法を用い、まず整数解を1つ見つけます。
7=2×3+1
もとの式 7b=2k+1 と合っているので、b=1、k=3で解を持ちます。

これを式 7b=2k+1 から引くと
7(b-1)=2(k-3)
7と2は互いに素なので(k-3)は7の倍数となります。
cを整数とすると、
(k-3)=7c
k=7c+3
これはkが7の倍数に3を加えたもの、つまり、kを7で割ったときの余りが3ということになります。

③の式を整理すると26y=3(-17z+1)となります。

26と3は互いに素ですので、yは３の倍数となります。

(ⅰ)y=3のとき

26・３＝3(-17z+1)

z=-25/17

不適当です。

(ⅱ)y=6のとき

26・6＝3(-17z+1)

z=-3

適当となります。

したがってy=6、z=-3となります。

 

式の整理を行います。

(26y−51z=3)−{26・(6)−51・(-3)=3}とすると、26・(y−6)−51・(z+3)=0

つまり、26・(y−6)=51・(z+3)

26と51は互いに素ですので上記の式が成立するには、kを整数として

y-6=-51k、z+3=26ｋ(ｋは整数)となります。

これを整理すると、

y=-51k+6

z=26k-3

となります。

 

y=-51k+6、z=26k-3を①に代入すると、7x＋13(-51k+6)＋17(26k-3)＝8となります。

これを整理すると、x=(221k-19)/7となります。

これを設問の形に合わせると、31k−3＋｛(4k＋2）／7｝

ｘが整数かどうかを決めるのは、(4k＋2）/7であります。

つまり4k+2が7の倍数となれば、ｘが整数であると言えるので、7l=4k+2(lは整数)となります。

l=2のときk=3が成立することになります。

よってk=7l+3となり、kは7で割る3余る数であると言えます。

（４ｋ＋２）/７が整数になるとき、ｋがどのような値になるか考えましょう。

４ｋ＋２が７の倍数のとき、整数になります。

よって、整数ｌを用いて、４ｋ＋２＝７ｌと表せます。

この不定方程式をｋについて解きます。

ｋ＝３、ｌ＝２のとき式を満たすことを用い、ｋ＝７ｋ＋３が得られます。

したがって、ｋを７で割った余りは３と分かります。