共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問43 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6)

35y＋21z＝−2−3a
7(5y+3z)=-2-3a
-2-3a は7の倍数であることがわかります。
dを整数とすると
7d=-3a-2

ユークリッド互除法を用い、まず整数解を1つ見つけます。
7=3×2+1
これをもとの式 7d=-2-3a に合わせると、式に-2をかけて
7×(-2)=3×(-4)-2
7×(-2)=-3×4-2
よって、d=-2、a=4で解を持ちます。

この式をもとの式 7d=-2-3a から引くと、
7(d+2)=-3(a-4)
7と3は互いに素なので、(a-4)は7の倍数になります。
fを整数とすると
7f=a-4
a=7f+4
これはaが7の倍数に4を加えたもの、つまり、aを7で割ったときの余りが4ということになります。

 

設問より、35y＋21z＝−2−3aが導かれている。

これを整理すると、7(5y+3z)=-(2+3a)となる。

つまり、3a+2が7の倍数である必要があるのです。

ｋを整数とすると3a+2=7kとなります。

このときa=4、k=2が整数解の一つとなりますので、

3(a-4)=7(k-2)となります。

3と７は互いに素となりますので、整数lを用いて

a=7l+4

k=3l+2

と表すことができます。

よって、aは7で割った時に余りが４になります。