共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問44 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問7)

-4y+(3-5b)z=b ... ⑩

2と(3-5b)が互いに素でないならば、(3-5b)は2の倍数となります。
gを整数とすると

2g=3-5b

b=(3-2g)/5
しかしこれを⑩に代入すると
-4y+2gz=(3-2g)/5
2(5(-2y+gz)+g)=3
左辺は2の倍数ですが、右辺は3なので2の倍数ではありません。
2と(3-5b)が互いに素でない、という前提が間違っています。

つまり、2と(3-5b)が互いに素であることがわかります。
このことから、(3-5b)は2の倍数ではない、つまり、奇数であることがわかります。
hを整数とすると
2h+1=(3-5b)
5b=-2h+2

ユークリッド互除法を用い、まず整数解を1つ見つけます。
5=2×2+1
これをもとの式 5b=-2h+2 に合わせると、式に2をかけて
5×2=2×4+2
5×2=-2×(-4)+2
よって、b=2、h=-4で解を持ちます。

この式をもとの式 5b=-2h+2 から引くと、
5(b-2)=-2(h+4)
5と2は互いに素なので、(b-2)は2の倍数になります。
iを整数とすると
2i=b-2
b=2(i+1)
これはbが2の倍数、つまり、bを2で割ったときの余りが0ということになります。
問題文では、4で割っているので、あまりが2と0ということになります。

設問より、−4y＋（3−5b）z＝bのyの係数に着目します。

整数y,ｚが存在するためには4と3-5ｂが互いに素である必要があります。4が偶数なので、互いに素であるためには3-5bが奇数であればよい。つまりはbが偶数であればよいということになります。

よってbが偶数であるならば、4で割ったときの余りは0,2となります。

設問より、タ<チなので

タ:0 チ:2