大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8)

x＋3y＋5z＝1…⑪と、cx＋3（c＋5）y＋10z＝3…⑫で連立方程式を立てると、

⑪×c−⑫になり、-15y+5(c-2)z=c-3となります。

整理すると、5・{3y+(2-c)z}=3-cとなります。

これを満たす整数y,zが存在するには、yとzの係数である3と(2-ｃ)が互いに素であることと、3-cが5の倍数である必要があります。

3と2-cが互いに素であるならば、2-cは整数kを使用すると、3k+1,3k+2と表すことができる。

2-c=3k+1のとき　c=3k+3

2-c=3k+2のとき　c=3k　となります。

c=3kだと3と(2-ｃ)が互いに素であることと矛盾するので、c=3k+3のみ成立します。

同様に、3-cは5の倍数ですので、整数lを使用すると5lと表すことができます。

したがって3-c=5l　c=-5l+3　となります。

つまり、cは15で割ることになります。

よって、ツテ:15

次にあまりについて考えます。

3-cが5の倍数なので、cを5で割ると余りが3となります。

よって15で割ると余りは、3,8,13となります。

上記のことから、cは3で割った時にあまりが2になることではないです。

したがって、3,13が正解となります。

ト:3 ナニ:13