共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8)

⑫-⑪×cにより、xを消去
⑫ ... cx+3(c+5)y+10z=3
⑪×c ... cx+3cy+5cz=c
⑫-⑪×c ... 15y+(10-5c)z=3-c
5(3y+(2-c)z)=3-c

まず、3と2-cが互いに素でない場合、
つまり、jを整数とすると3j=2-cとなります。
c=-3j+2
このとき、5(3y+(2-c)z)=3-cは、
5(3y+3jz)=3j+1
3(5(y+jz)-j)=1
左辺は3の倍数だが、右辺は3の倍数ではありません。
3と2-cが互いに素でない、という前提が間違っています。

次に、3と2-cが互いに素である場合、
つまり、jを整数とすると3j+1=2-cまたは3j+2=2-cが考えられます。

3j+1=2-cのとき、
c=-3j+1
このとき、5(3y+(2-c)z)=3-cは、
5(3y+(3j+1)z)=3j+2
右辺の3j+2は5の倍数である必要があります。
mを整数とすると、
5m=3j+2
ユークリッド互除法より
5=3×1+2
式 5m=3j+2 と比べると

m=1、j=1を1つの解と置けます。

この式を式 5m=3j+2 から引いて、
5(m-1)=3(j-1)
5と3は互いに素なので、(j-1)は5の倍数になります。
nを整数とすると

5n=j-1
j=5n+1
よってcは
c=-3(5n+1)+1
=15×(-n-1)+13
これはcが15の倍数に13を加えたもの、つまり、bを15で割ったときの余りが13ということになります。

3j+2=2-cのとき、
c=-3j
このとき、5(3y+(2-c)z)=3-cは、
5(3y+(3j+2)z)=3(j+1)
次にj+1は5の倍数である必要があります。
mを整数とすると、
5m=j+1
5=1×4+1 が成り立つので、
式 5m=j+1 と比べると

m=1、j=4を1つの解と置けます。

この式を式 5m=j+1 から引いて、
5(m-1)=j-4
(j-4)は5の倍数になります。
nを整数とすると

5n=j-4
j=5n+4
よってcは
c=-3(5n+4)
=15×(-n-1)+3
これはcが15の倍数に3を加えたもの、つまり、bを15で割ったときの余りが3ということになります。
 

x＋3y＋5z＝1…⑪と、cx＋3（c＋5）y＋10z＝3…⑫で連立方程式を立てると、

⑪×c−⑫になり、-15y+5(c-2)z=c-3となります。

整理すると、5・{3y+(2-c)z}=3-cとなります。

これを満たす整数y,zが存在するには、yとzの係数である3と(2-ｃ)が互いに素であることと、3-cが5の倍数である必要があります。

3と2-cが互いに素であるならば、2-cは整数kを使用すると、3k+1,3k+2と表すことができる。

2-c=3k+1のとき　c=3k+3

2-c=3k+2のとき　c=3k　となります。

c=3kだと3と(2-ｃ)が互いに素であることと矛盾するので、c=3k+3のみ成立します。

同様に、3-cは5の倍数ですので、整数lを使用すると5lと表すことができます。

したがって3-c=5l　c=-5l+3　となります。

つまり、cは15で割ることになります。

よって、ツテ:15

次にあまりについて考えます。

3-cが5の倍数なので、cを5で割ると余りが3となります。

よって15で割ると余りは、3,8,13となります。

上記のことから、cは3で割った時にあまりが2になることではないです。

したがって、3,13が正解となります。

ト:3 ナニ:13