大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問53 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問8)

AQ:QC=x:1とおきます。

△BQAと線分CPにおいて、

メネラウスの定理より

BR/RQ×QC/CA×AP/PB=１

BR/RQ×1/(x+1)×2/3=1

BR/RQ=3x+3/2

よって点Rは線分BQを

3x+3:2に内分します。

△CAPと線分QBにおいて、

メネラウスの定理より

CR/RP×PB/BA×AQ/QC=１

CR/RP×3/5×x/1=1

CR/RP=5/3x

よって点Rは線分CPを

5:3xに内分します。

図にすると以下のようになります。

△ABCの面積をSとします。

△BPRの面積について

RP:CP=3x:3x+5より、

△RAB=(3x/3x+5)S

AP:PB=2:3より、

△BPR=(3/2+3)△RAB

           =(3/5)×(3x/3x+5)S

△CQRの面積について

RQ:BQ=2:3x+5より、

△RCA=(2/3x+5)S

CQ:QA=1:xより、

△CQR=(1/x+1)△RCA

           =(1/x+1)×(2/3x+5)S

よって、

△CQRの面積/△BPRの面積

={(1/x+1)×(2/3x+5)S} / {(3/5)×(3x/3x+5)S}

={2/x+1} / {3・3x/5}

=10/9x(x+1)

ここで、

△CQRの面積/△BPRの面積=1/4なので、

10/9x²+9x=1/4

9x²+9x=40

9x²+9x-40=0

(3x+8)(3x-5)=0

x=-8/3,5/3

xは正なので、

x=5/3

AQ:QC=5/3:1

           =5:3

よって、

点Qは辺ACを5:3に内分する点です。