大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問58 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問5)

（エ）～（カ）を踏まえて、P（x）＝S（x）Q（x）+R（x）についてわかったことを探しましょう。

下に（エ）～（カ）の解答を一部抜粋します。参考にしてください。

P（x）をS（x）で割ったときの商をQ（x）、余りをR（x）

これを式で表すと、

P（x）/S（x）＝Q（x）...R（x）

 

式を変形して、答えは

（ウ）＝P（x）＝S（x）Q（x）+R（x）

です。

 

問題文から、R（x）＝mx+n, P（1+2√i）＝0, S（1+2√i）＝0　です。

0＝0・Q（1+√2i）+R（1+√2i）

R（1+√2i）＝0

 

したがって、答えは（エ）＝0　です。

 

m（1+√2i）+n＝0

（m+n）+√2im＝0

これでR（1+2√i）を実部と虚部に整理することができました。

複素数a+bi（a, bは実数）が0になるのは、a, bがどちらも0のときだけです。

よってm+n＝0, m＝0

m＝0よりn＝0

 

したがって、答えは　（オ）＝0, （カ）＝0　です。

問題文から、

P(x)÷S（x）=Q（x）・・・R（x）

より

P(x)=S(x)Q(x)+R(x)

問題文の、

1＋√2iが二つの方程式P（x）＝0とS（x）＝0の解であることより、

P（1＋√2i）＝0

S（1＋√2i）＝0

 

これらを

P(1＋√2i)=S(1＋√2i)Q(1＋√2i)+R(1＋√2i)に代入すると、

0=0×Q(1＋√2i)+R(1＋√2i)

R(1＋√2i)=0

 

R(1＋√2i)=0,x＝1＋√2iを

R（x）＝mx＋nに代入して、

(1＋√2i)m+n=0

(m+n)+√2im=0

複素数が0になる条件は実部と虚部が0の場合だけです。

よって

m+n=0,√2im=0より、

m=0,n=0

m=0,n=0を

R（x）＝mx＋nに代入すると、

R(x)=0