大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問67 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問14)
問題文
（ ホ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 常用対数表（リンク） を用いてもよい。
花子さんは、あるスポーツドリンク（以下、商品S）の売り上げ本数が気温にどう影響されるかを知りたいと考えた。そこで、地区Aについて調べたところ、最高気温が22℃、25℃、28℃であった日の商品Sの売り上げ本数をそれぞれN1，N2，N3とするとき
N1＝285，N2＝368，N3＝475
であった。このとき
（N2−N1）／（25−22） ＜ （N3−N2）／（28−25）
であり、座標平面上の3点（22，N1）、（25，N2）、（28，N3）は一つの直線上にはないので、花子さんはN1，N2，N3の対数を考えてみることにした。
（1）常用対数表によると、log102.85＝0.4548であるので
log10N1＝log10285＝0.4548＋（ ネ ）＝（ ネ ）.4548
である。この値の小数第4位を四捨五入したものをp1とすると
p1＝（ ネ ）.455
である。同じように、log10N2の値の小数第4位を四捨五入したものをp2とすると
p2＝（ ノ ）.（ ハヒフ ）である。
さらに、log10N3の値の小数第4位を四捨五入したものをp3とすると
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）
が成り立つことが確かめられる。したがって
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）＝k
とおくとき、座標平面上の3点（22，p1）、（25，p2）、（28，p3）は次の方程式が表す直線上にある。
y＝k（x−22）＋p1 ・・・・・①
いま、Nを正の実数とし、座標平面上の点（x，log10N）が①の直線上にあるとする。このとき、xとNの関係式として、正しいものは（ ヘ ）である。
（2）花子さんは、地区Aで最高気温が32℃になる日の商品Sの売り上げ本数を予想することにした。x＝32のときに関係式（ ヘ ）を満たすNの値は（ ホ ）の範囲にある。そこで、花子さんは売り上げ本数が（ ホ ）の範囲に入るだろうと考えた。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 常用対数表（リンク） を用いてもよい。
花子さんは、あるスポーツドリンク（以下、商品S）の売り上げ本数が気温にどう影響されるかを知りたいと考えた。そこで、地区Aについて調べたところ、最高気温が22℃、25℃、28℃であった日の商品Sの売り上げ本数をそれぞれN1，N2，N3とするとき
N1＝285，N2＝368，N3＝475
であった。このとき
（N2−N1）／（25−22） ＜ （N3−N2）／（28−25）
であり、座標平面上の3点（22，N1）、（25，N2）、（28，N3）は一つの直線上にはないので、花子さんはN1，N2，N3の対数を考えてみることにした。
（1）常用対数表によると、log102.85＝0.4548であるので
log10N1＝log10285＝0.4548＋（ ネ ）＝（ ネ ）.4548
である。この値の小数第4位を四捨五入したものをp1とすると
p1＝（ ネ ）.455
である。同じように、log10N2の値の小数第4位を四捨五入したものをp2とすると
p2＝（ ノ ）.（ ハヒフ ）である。
さらに、log10N3の値の小数第4位を四捨五入したものをp3とすると
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）
が成り立つことが確かめられる。したがって
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）＝k
とおくとき、座標平面上の3点（22，p1）、（25，p2）、（28，p3）は次の方程式が表す直線上にある。
y＝k（x−22）＋p1 ・・・・・①
いま、Nを正の実数とし、座標平面上の点（x，log10N）が①の直線上にあるとする。このとき、xとNの関係式として、正しいものは（ ヘ ）である。
（2）花子さんは、地区Aで最高気温が32℃になる日の商品Sの売り上げ本数を予想することにした。x＝32のときに関係式（ ヘ ）を満たすNの値は（ ホ ）の範囲にある。そこで、花子さんは売り上げ本数が（ ホ ）の範囲に入るだろうと考えた。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問67（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問14） （訂正依頼・報告はこちら）
（ ホ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 常用対数表（リンク） を用いてもよい。
花子さんは、あるスポーツドリンク（以下、商品S）の売り上げ本数が気温にどう影響されるかを知りたいと考えた。そこで、地区Aについて調べたところ、最高気温が22℃、25℃、28℃であった日の商品Sの売り上げ本数をそれぞれN1，N2，N3とするとき
N1＝285，N2＝368，N3＝475
であった。このとき
（N2−N1）／（25−22） ＜ （N3−N2）／（28−25）
であり、座標平面上の3点（22，N1）、（25，N2）、（28，N3）は一つの直線上にはないので、花子さんはN1，N2，N3の対数を考えてみることにした。
（1）常用対数表によると、log102.85＝0.4548であるので
log10N1＝log10285＝0.4548＋（ ネ ）＝（ ネ ）.4548
である。この値の小数第4位を四捨五入したものをp1とすると
p1＝（ ネ ）.455
である。同じように、log10N2の値の小数第4位を四捨五入したものをp2とすると
p2＝（ ノ ）.（ ハヒフ ）である。
さらに、log10N3の値の小数第4位を四捨五入したものをp3とすると
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）
が成り立つことが確かめられる。したがって
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）＝k
とおくとき、座標平面上の3点（22，p1）、（25，p2）、（28，p3）は次の方程式が表す直線上にある。
y＝k（x−22）＋p1 ・・・・・①
いま、Nを正の実数とし、座標平面上の点（x，log10N）が①の直線上にあるとする。このとき、xとNの関係式として、正しいものは（ ヘ ）である。
（2）花子さんは、地区Aで最高気温が32℃になる日の商品Sの売り上げ本数を予想することにした。x＝32のときに関係式（ ヘ ）を満たすNの値は（ ホ ）の範囲にある。そこで、花子さんは売り上げ本数が（ ホ ）の範囲に入るだろうと考えた。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 常用対数表（リンク） を用いてもよい。
花子さんは、あるスポーツドリンク（以下、商品S）の売り上げ本数が気温にどう影響されるかを知りたいと考えた。そこで、地区Aについて調べたところ、最高気温が22℃、25℃、28℃であった日の商品Sの売り上げ本数をそれぞれN1，N2，N3とするとき
N1＝285，N2＝368，N3＝475
であった。このとき
（N2−N1）／（25−22） ＜ （N3−N2）／（28−25）
であり、座標平面上の3点（22，N1）、（25，N2）、（28，N3）は一つの直線上にはないので、花子さんはN1，N2，N3の対数を考えてみることにした。
（1）常用対数表によると、log102.85＝0.4548であるので
log10N1＝log10285＝0.4548＋（ ネ ）＝（ ネ ）.4548
である。この値の小数第4位を四捨五入したものをp1とすると
p1＝（ ネ ）.455
である。同じように、log10N2の値の小数第4位を四捨五入したものをp2とすると
p2＝（ ノ ）.（ ハヒフ ）である。
さらに、log10N3の値の小数第4位を四捨五入したものをp3とすると
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）
が成り立つことが確かめられる。したがって
（p2−p1）／（25−22）＝（p3−p2）／（28−25）＝k
とおくとき、座標平面上の3点（22，p1）、（25，p2）、（28，p3）は次の方程式が表す直線上にある。
y＝k（x−22）＋p1 ・・・・・①
いま、Nを正の実数とし、座標平面上の点（x，log10N）が①の直線上にあるとする。このとき、xとNの関係式として、正しいものは（ ヘ ）である。
（2）花子さんは、地区Aで最高気温が32℃になる日の商品Sの売り上げ本数を予想することにした。x＝32のときに関係式（ ヘ ）を満たすNの値は（ ホ ）の範囲にある。そこで、花子さんは売り上げ本数が（ ホ ）の範囲に入るだろうと考えた。
- 440以上450未満
- 450以上460未満
- 460以上470未満
- 470以上480未満
- 650以上660未満
- 660以上670未満
- 670以上680未満
- 680以上690未満
- 890以上900未満
- 900以上910未満
- 910以上920未満
- 920以上930未満
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この過去問の解説 （2件）
01
対数の大小は底の大きさによって見分け方が変わることを覚えておきましょう。
底が同じで真数が異なる2つの対数 logaM, logaN（M＜N） の大小関係は
①a＞1のとき logaM＜logaN
②0＜a＜1のとき logaM＞logaN
となります。
x＝32のとき、②を満たすNの値の範囲を求めましょう。
問題文より①式の変化の割合kは（p2-p1）/（25-22）ですね。 ※（p3-p2）/（28-25） も可
p1＝2.455, p2＝2.566 を代入してk＝0.111/3
k＝0.111/3, x＝32, ②式より
N＝10（0.111/3）・（32-22）+2.455
＝102.825
102.825が含まれるNの範囲を求めましょう。
累乗部分が小さいほうが常用対数表を活用しやすそうですね。
N＝100.825×102 より、100.825＝Mとします。
ですから、 M＝100.825 は 0.825＝log10M と同義です。
常用対数表より log106.68=0.8248, log106.69=0.8254
よって log106.68<log10M<log106.69
底は1より大きいので、6.68＜M＜6.69
N＝M×102 ですから、668＜N＜669
したがって、答えは （ホ）＝660以上670未満 です。
計算が複雑ですが、落ち着いて解き進めましょう。
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02
p1=2.455
x=32のときにN=10k(x-22)＋p1を満たすNの値の範囲を求めます。
x=32を式に代入すると、
N=10k(32-22)+p1
=1010k+p1
ここでkの値を求めると、
k=（p2−p1）／（25−22）
=(2.566-2.455)/3
=0.111/3
=0.037
よって、
N=1010×0.037+2.455
=102.825
=100.825×102
100.825の値を求めます。
100.825=Aとおくと、
log10A=0.825
常用対数によると、
log106.68=0.8248
log106.69=0.8254
であるから、
log10Aは
log106.68<log10A<log106.69
の範囲であることがわかります。
ここからNの範囲を求めます。
底10は1より大きいので、
6.68<A<6.69
6.68<100.825<6.69
668<100.825×100<669
668<N<669
668<N<669の範囲を含むので、
正解です。
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