大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問70 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問3)

前提として、（ア）～（カキク）を正解している必要があります。

以下に解答を抜粋します。参考にしてください。

両端からxcmずつ切り取るのですから、切り取る長さの合計は2x（cm）です。

 

2x＜9

  x＜9/2

 

したがって答えは（ア）＝9, （イ）＝2　です。

1辺の長さのうち斜線部分は2x（cm）ですから、

縦の長さは（9-2x）cm

横の長さは（24-2x）cm

と表すことができます。

 

よって、

V＝(9-2x)(24-2x)x

  ＝4x³-66x²+216x

 

したがって、答えは　（ウ）＝4, （エオ）＝66, （カキク）＝216　です。

今回は3次関数　V＝4x³-66x²+216x（0＜x＜9/2）　の最大値を求める問題です。

式を見ただけではどこが最大値になりそうか想像もつきませんよね。

3次関数f（x）の極大値・極小値を知るためには、微分して導関数f'（x）を求める必要があります。

導関数が求められたら、次にf'（x）＝0のときのxを求めましょう。f'（x）＝0は、f（x）の瞬間的な変化率が0であることと同義ですね。下のグラフで示した通り、このとき関数f（x）は極値をとります。

式だけでは定義域内に極値があるか分かりませんね。そこで、問題を解くときは増減表を書くとよいでしょう。

ア、イの回答

両端xcm切り取ったときの長方形の辺の長さは、縦9-2xcm,横24-2xcmです。

長さは0より大きくなければならないので、x>0かつ9-2x>0xかつ24-2x>0。

つまり、0<x<9/2となります。

これより、ア:9,イ:2です。

ウ、エ、オの回答

両端xcm切り取ったときの長方形の辺の長さは、縦9-2xcm,横24-2xcmです。

V=ｘ(9-2x)(24-2x)=x(4x²-66x+216)=4x³-66x²+216x

f(x)=4x³-66x²+216xとおくと、

f'(x)=12x²-132x+216

=12(x²-11x+18)

=12(x-9)(x-2)

となります。

以下のような表を書きます。

これより、x=2で最大となり、

最大値は

f(2)=4*2³-66*2²+216*2=200であると分かります。

アイの回答

切り取る斜線部分の正方形の一辺の長さがxcmであるから、

縦の長さを考えると、

2x<9

x<9/2

である必要があります。

またxは長さなので

x>0

これらよりxのとり得る値の範囲は

0<x<9/2

です。

ウエオカキクの回答

V=(9-2x)(24-2x)x

  =(216-18x-48x+4x²)x

  =4x³-66x²+216x

f(x)=4x³-66x²+216xとおくと、

f'(x)=12x²-132x+216

f'(x)=0のとき、

12x²-132x+216=0

x²-11x+18=0

(x-2)(x-9)=0

x=2,9

0<x<9/2の範囲で増減表をかくと、

f(2)=4×8-66×4+216×2

     =32-264+432

     =200

よって、

x=2で最大値200をとります。