大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問11)

tについての恒等式からl, m, nの値を求めましょう。

ようやく『∫_t^t+1f（x）dx＝t²となるf（x）』が分かりそうです。

ちなみに画像部分の求め方は以下の通りです。

∫_t^t+1f（x）dx＝∫_t^t+1（lx²+mx+n）dx

                    ＝∫_t^t+1（lx²）dx+∫_t^t+1（mx）dx+∫_t^t+1ndx

                    ＝l∫_t^t+1 x²dx+m∫_t^t+1 xdx+n∫_t^t+11dx

ここで（チ）～（ナ）の計算結果を利用すると、

∫_t^t+1f（x）dx＝l・（t²+t+1/3）+m・（t+1/2）+n・1

　　　　　   ＝lt²+（l+m）t+l/3+m/2+n

ツ、テの回答

∫_t^t+1xdx=[x²/2]_t^t+1

=1/2((t+1)²-t²⁾

=1/2(2t+1)

=t+1/2

ト、ナの回答

∫_t^t+1x²dx=[x³/3]_t^t+1

=1/3{(t+1)³-t³}

=1/3(3t²+3t+1)

=t²+t+1/3

tについての恒等式は

t²⁼lt²+(l+m)t+1/3l+1/2m+n

(l-1)t²+(l+m)t+1/3l+1/2m+n=0

l-1=0

l+m=0

1/3l+1/2m+n=0

したがって、l=1,m=-1,n=1/6となります。

ツテの回答

∫_t^t+1xdx=[x²/2]_t^t+1

=(t+1)²/2-t²/2

=(2t+1)/2

=t+1/2

トナの回答

∫_t^t+1x²dx=[x³/3]_t^t+1

=(t+1)³/3-t³/3

=(t³+3t²+3t+1-t³)/3

=(3t²+3t+1)/3

=t²+t+1/3

tについての恒等式は、

t²=lt²+(l+m)t+l/3+m/2+n

なので、

l=1