大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問81 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問14)

1²＋2²＋…＋10²をある関数の定積分で表すことを考えよう

 

最終的に1²＋2²＋…＋10²＝（ある関数の定積分）という形にしたいわけですが、いきなりは難しいですね。

（1）では個々の項を定積分の形で表せるかを考えます。

最後に『1²＋2²＋…＋10²をある関数の定積分で表すこと』を考えます。

定積分には以下のような性質があります。覚えておきましょう。

積分区間の結合　∫_a^bf（x）dx+∫_b^cf（x）dx＝∫_a^cf（x）dx

（1）より、

∫_t^t+1f(x)=t²

tに1を代入すると、∫₁²f(x)dx=1²となります。

同様にして、

1²+2²+…+10²⁼∫₁²f(x)dx+∫₂³f(x)dx+…+∫₁₀¹¹f(x)dx=∫₁¹¹f(x)dx

（1）から、

1²+2²+・・・+10²

=∫₁²f(x)dx+∫₂³f(x)dx+・・・+∫₁₀¹¹f(x)dx

=∫₁¹¹f(x)dx