共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問119 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問8)

∠CPD＝120°　となる点Pの座標を求めます。

答えとなるtは1つのはずですが、計算途中で2乗してしまっているので|cos60°|²＝（1/2）²と|cos120°|²＝（-1/2）²の区別がついていません。t＝2とt＝3、どちらが正しいのか調べてみましょう。

→AP＝t→AB　ですね。

ここで直線ABと点A, B, C,  Dをイメージしてください。

ここまで求めた式や値から、点A～Dはこのような位置関係であると考えられますね。

cos∠120°＝-1/2　となるtはピンク色で示した点ですから、より遠いほう、すなわち　t＝3　です。

この解説ではベクトルOAをOAのように表記します。

②を2乗する際に注目すると、cos60°とcos120°の2乗が等しいことから、
tの値のどちらかが∠CPD=120°となるtでどちらかが∠CPD=60°となるtになります。
以下場合分けしていきます。

t=2のとき、

PC=(6,9,-3)
PD=(3,1,2)

より、
PC・PD＝21＞０

であり、これは∠CPD=120°を満たしません。

t=3のとき、

PC=(4,6,-2)
PD=(1,-2,3)

より
PC・PD=-14<0

であり、これは∠CPD=120°となるtです。

t=3で
OP＝(6,6,2)

なので
トに入るのは6
ナに入るのは6
ニに入るのは2
となります。