大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問3)

時刻tとしてPとQの座標を表し、tを用いた式でΔPBQの面積を表現した式の最小値を算出します。
2次元空間でベクトル (a,b)と (c,d)の平行四辺形の面積は|ad−bc|で求められ、対角線んで２分された三角形の面積はその半分です。

この解説ではベクトルOAをOA→と表現します。

開始時刻から3秒間の、PとQの座標は以下のように表せます。
P(t)=(t,0) (0≤t≤3)
Q(t)=(0,6–2t) （0≤t≤3）

BP→=P(t)−B=(t−4,−6) (0≤t≤3)
BQ→=Q(t)−B=(−4,−2t) (0≤t≤3)

2次元空間でベクトル (a,b)と (c,d)の平行四辺形の面積は|ad−bc|で求められ、対角線で２分された三角形の面積はその半分です。
時刻tにおける三角形PBQの面積をS(t)とすると
S(t)
=(1/2)*|(t−4)(−2t)−(−6)(−4)|
=|−2t(t−4)−24| (0≤t≤3)
=2t(t−4)+24 (∴0≤t≤3)
=t²−4t+12
=(t-2)²+8

0≤t≤3の範囲でS(t)はt=0の時最大値12となります。