共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問4)

3点 P（x，0）、B（4，6）、Q（0，y） でできる三角形の面積は、

1／2×｜4y＋x（6−y）｜

で求められます。

まず、0≦x≦3 のときです。
このとき、Qのy座標は y＝6−2x です。
これを代入すると、面積は

1／2×｛4（6−2x）＋x（6−（6−2x））｝

＝1／2×（24−8x＋2x²）

＝x²−4x＋12

となります。

これは

x²−4x＋12＝（x−2）²＋8

と変形できます。

したがって、0≦x≦3 の範囲での最小値は、

x＝2 のときの 8 です。

次に、3≦x≦6 のときです。
このとき、Qのy座標は y＝2x−6 です。
同じように面積を求めると、

−x²＋10x−12

となります。

これは上にふくらむ形ではなく、山の形の式なので、この範囲で一番小さくなるのは端の値です。
x＝3 のときは 9、x＝6 のときは 12 なので、この範囲での最小値は 9 です。

よって、全体の最小値は 8 です。

PはO(0,0)からA(6,0)へx軸上を速度1で移動し停止するので0≤t≤6です。
QはC(0,6)からy軸上を下方向に速度2でOへ、そこから再び上方向にCへ移動するので0≤t≤6です。

PはO(0,0)からA(6,0)へx軸上を速度1で移動するので時刻tでの点Pの座標P(t)は
P(t)=(t,0)(0≤t≤6)

QはC(0,6)からy軸上を下方向に速度2でOへ、そこから再び上方向にCへ移動します。
つまり時刻tでの点Qの座標Q(t)は
Q(t)=(0,6−2t)(0≤t≤3)
Q(t)=(0,2t−6)(3<t≤6)

三角形の頂点を P、B、Q、点Qの座標をQyとします。

PB→=B−P=(4−t,6)(0≤t≤6)
PQ→=B−Q=(−t,Q_y)

2次元空間でベクトル (a,b)と (c,d)の平行四辺形の面積は|ad−bc|で求められ、対角線で２分された三角形の面積はその半分です。
時刻tにおける三角形PBQの面積をS(t)とすると
S(t)
=(1/2)*|(4-t)(Q_y)+6t|

(i)0≤t≤3
この時Q_y=6−2tです。
S(t)
=(1/2)*|(4-t)(6−2t)+6t|
=(1/2)*|2t²−8t+24|

ここで0≤t≤3で2t²−8t+24>0なので、
S(t)
=t₂−4t+12
=(t-2)²+8

S(t)は下に凸のtに関する二次関数のため、t=2で最小値8をとります。

(ii)3<t≤6
この時Q_y=2t-6です。
S(t)
=(1/2)*|(4-t)(2t-6)+6t|
=(1/2)*|-2t²+20t-24|

ここで3<t≤6で-2t²+20t-24>0なので、
S(t)
=-t²+10t-12
=-(t-5)²+13

S(t)上に凸のtに関する二次関数であり、t=5が極値となるためt=3で最小値9をとります。

(i)(ii)よりS(t)の最小値は8です。