共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問15 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問5)

空欄（イ）

開始時刻からt秒後(0≦t≦3)のP、Qの位置は
P ... (0+t, 0)=(t, 0)
Q ... (0, 6-2×t)=(0, 6-2t)
なお、t=3のとき、QはOで折り返します。
△PBQの面積=△PBOの面積+△OBQの面積-△POQの面積
=t×6/2+(6-2t)×4/2-t×(6-2t)/2

=t²-4t+12

=(t-2)²+8

△PBQの面積は、t=2で最小値8となる下に凸の二次関数となります。
よって、0≦t≦3のときも、最小値はt=2のときの8となります。

空欄（ウ）、（エ）

最大値はt=0またはt=3になりますが、最小値のt=2から間隔が大きいほうが面積が大きくなります。

よって最大値はt=0のときの12となります。

空欄（オ）

空欄（イ）〜（エ）と同様に、点QがOで折り返したあとの3≦t≦6について考えます。

P、Qの位置は
P ... (3+(t-3), 0)=(t, 0)
Q ... (0, 2×(t-3))=(0, 2(t-3))
△PBQの面積=△PBOの面積+△OBQの面積-△POQの面積
=t×6/2+2(t-3)×4/2-t×2(t-3)/2

=-t²+10t-12

=-(t-5)²+13
△PBQの面積は、t=5で最大値13となる上に凸の二次関数となります。

よって、3≦t≦6のときも、最大値はt=5のときの13となります。

最小値はt=3またはt=6になりますが、最大値のt=5から間隔が大きいほうが面積が小さくなります。

よって最小値はt=3のときの9となります。

 

空欄（イ）〜（エ）の結果と合わせると、

最小値はt=2のときの8になります。

空欄（イ）〜（エ）の結果と合わせると、

最大値はt=5のときの13になります。

前問までで、△PBQの面積は、時刻をx秒後とすると、Qの動きに合わせて2つに分けて考えることが分かっています。

0≦x≦3 のとき、QはCからOへ下がるので、面積は

x²−4x＋12

です。

3≦x≦6 のとき、QはOからCへ上がるので、面積は

−x²＋10x−12

です。

前問では、最小値が8であることを確認しました。

3点 P（x，0）、B（4，6）、Q（0，y） でできる三角形の面積は、

1／2×｜4y＋x（6−y）｜

で求められます。

 

まず、0≦x≦3 のときです。
このとき、Qのy座標は y＝6−2x です。
これを代入すると、面積は

1／2×｛4（6−2x）＋x（6−（6−2x））｝

＝1／2×（24−8x＋2x²）

＝x²−4x＋12

となります。

これは

x²−4x＋12＝（x−2）²＋8

と変形できます。

したがって、0≦x≦3 の範囲での最小値は、

x＝2 のときの 8 です。

 

次に、3≦x≦6 のときです。
このとき、Qのy座標は y＝2x−6 です。
同じように面積を求めると、

−x²＋10x−12

となります。

これは上にふくらむ形ではなく、山の形の式なので、この範囲で一番小さくなるのは端の値です。
x＝3 のときは 9、x＝6 のときは 12 なので、この範囲での最小値は 9 です。

 

よって、全体の最小値は 8 です。

今回は、この2つの式から最大値を調べます。

PとQはそれぞれ直線上を一定速度で移動し、両者とも同時に始点から終点へ到達します。
「ΔPBQの面積」は、時間tにおけるP(t)BQ(t)という三角形の面積です。
この面積を時間で表して最小値を求めれば答えが得られます。
この解説ではベクトルOAをOA→と表現します。