共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問29 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問6)
問題文
箱の中にカードが2枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが1文字だけ書かれている。この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。
（1）箱の中に［A］、［B］のカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。
以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でA、Bがそろっているとは、n回の試行で［A］、［B］のそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
（ⅱ）3回の試行でA、Bがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうち［A］を1回、［B］を2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると画像のようになる。
このように考えることにより、3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りあることがわかる。よって、3回の試行でA、Bがそろっている確率は（ ウ ）／23である。
（2）箱の中に［A］、［B］［C］のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA、B、Cがそろうとは、n回の試行で［A］、［B］［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ［A］、［B］［C］のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
（ⅱ）4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、（1）の（ⅱ）を振り返ることにより、3✕（ ウ ）通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率は（ ケ ）／（ コ ）である。
（ ケ ）／（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）箱の中に［A］、［B］のカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。
以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でA、Bがそろっているとは、n回の試行で［A］、［B］のそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
（ⅱ）3回の試行でA、Bがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうち［A］を1回、［B］を2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると画像のようになる。
このように考えることにより、3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りあることがわかる。よって、3回の試行でA、Bがそろっている確率は（ ウ ）／23である。
（2）箱の中に［A］、［B］［C］のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA、B、Cがそろうとは、n回の試行で［A］、［B］［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ［A］、［B］［C］のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
（ⅱ）4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、（1）の（ⅱ）を振り返ることにより、3✕（ ウ ）通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率は（ ケ ）／（ コ ）である。
（ ケ ）／（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問29（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
箱の中にカードが2枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが1文字だけ書かれている。この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。
（1）箱の中に［A］、［B］のカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。
以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でA、Bがそろっているとは、n回の試行で［A］、［B］のそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
（ⅱ）3回の試行でA、Bがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうち［A］を1回、［B］を2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると画像のようになる。
このように考えることにより、3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りあることがわかる。よって、3回の試行でA、Bがそろっている確率は（ ウ ）／23である。
（2）箱の中に［A］、［B］［C］のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA、B、Cがそろうとは、n回の試行で［A］、［B］［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ［A］、［B］［C］のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
（ⅱ）4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、（1）の（ⅱ）を振り返ることにより、3✕（ ウ ）通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率は（ ケ ）／（ コ ）である。
（ ケ ）／（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）箱の中に［A］、［B］のカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。
以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でA、Bがそろっているとは、n回の試行で［A］、［B］のそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
（ⅱ）3回の試行でA、Bがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうち［A］を1回、［B］を2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると画像のようになる。
このように考えることにより、3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りあることがわかる。よって、3回の試行でA、Bがそろっている確率は（ ウ ）／23である。
（2）箱の中に［A］、［B］［C］のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA、B、Cがそろうとは、n回の試行で［A］、［B］［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ［A］、［B］［C］のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
（ⅱ）4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、（1）の（ⅱ）を振り返ることにより、3✕（ ウ ）通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率は（ ケ ）／（ コ ）である。
（ ケ ）／（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- 2／8
- 2／9
- 3／9
- 4／9
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この過去問の解説 （3件）
01
空欄（ウ）
[A]、[B]、[C]カード3枚の試行回数4回の場合の数の総数n(U)は、n(U)=3C1・3C1・3C1・3C1=34
問題文にもあるように、n(A)=3×（ウ）=3×6=18
よって確率P(A)は
P(A)=n(A)/n(U)=18/34=2/9
※ 「4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、（1）の（ⅱ）を振り返ることにより、3✕（ ウ ）通りあることがわかる。」
の補足
（1）の（ⅱ）では、3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りになることを求めました。
これを用いて、
試行1回目で[A]を引いた場合は、残り3回の試行でB、Cがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りになります。
試行1回目で[B]を引いた場合は、残り3回の試行でC、Aがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りになります。
試行1回目で[C]を引いた場合は、残り3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（ ウ ）通りになります。
以上から、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、3✕（ ウ ）通りになります。
すでに求めた場合の数の求め方を有効活用しましょう。
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02
今回は、４回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう確率を求めます。
つまり、３回の試行で２種類がそろっていて、かつ、４回目に初めて残り１種類がそろうことを考える必要があります。
具体的には、
①【３回の試行でＡ，Ｂがそろっていて、４回目に初めてＣが出る場合】
つまり、（１）の（ⅱ）の考え方がここで使われるのです。（ウ ６通り）
以下の①～③のパターンについて考えるので、３×６＝１８通りになります。
①３回の試行でＡ，Ｂがそろっていて、４回目でＣが出る場合
②３回の試行でＡ，Ｃがそろっていて、４回目でＢが出る場合
③３回の試行でＢ，Ｃがそろっていて、４回目でＡが出る場合
よって、４回の試行は３４＝81通りであり、４回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう確率は18/81＝2/9
ケ 2 コ 9
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03
「n回目で初めてそろう」という条件を、「n-1回目までの状態」と「n回目の試行」に分けて考えます。
1回の試行で出るカードは[A]か[B]の2通りなので、3回の試行でのすべての取り出し方は、
2*2*2=23=8通りです。
「A、Bがそろう」とは、少なくとも1回ずつAとBが出るということなので余事象を考えます。
A、Bがそろう取り出し方は、
(すべての取り出し方)-(そろわない取り出し方)=8-2=6通り
となります。
よって、（ウ）にあてはまる数字は6です。
次に、「4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率」を求めます。
これは、3回目までの試行で、A、B、Cのうち「ちょうど2種類」だけが出ており、4回目の試行で、まだ出ていない「残りの1種類」が出る場合です。
「3回目までにちょうど2種類だけが出る」場合の数は、
(種類の選び方)*(その2種類の出方)=3*6=18通り
となります。
4回目で初めてA、B、Cがそろう取り出し方の総数は、
(3回目までの試行で、A、B、Cのうち「ちょうど2種類」だけが出ている場合の数)*(4回目の試行で、まだ出ていない「残りの1種類」が出る場合の数)=18*1=18通り
となります。
1回の試行で出るカードはA、B、Cの3通りなので、4回の試行でのすべての取り出し方は、
3*3*3*3=34=81通り
以上より、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率は18/81=2/9
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