共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問30 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7)

空欄（ウ）

[A]、[B]カード2枚の試行回数3回の場合の数の総数n(U)は、問題文にもあるように、n(U)=₂C₁・₂C₁・₂C₁=2³

[A]、[B]がそろっていない場合は、[A]、[A]、[A]、または、[B]、[B]、[B]の2通り。

つまり、それ以外は[A]、[B]がそろっているのでn(A)=n(U)-2=2³-2=6

空欄（エ）、（オ）

[A]、[B]カード2枚の試行回数4回の場合の数の総数n(U)は、n(U)=₂C₁・₂C₁・₂C₁・₂C₁=2⁴

[A]、[B]がそろっていない場合は、[A]、[A]、[A]、[A]、または、[B]、[B]、[B]、[B]の2通り。

つまり、それ以外は[A]、[B]がそろっているのでn(A)=n(U)-2=2⁴-2=14

空欄（ケ）、（コ）

[A]、[B]、[C]カード3枚の試行回数4回の場合の数の総数n(U)は、n(U)=₃C₁・₃C₁・₃C₁・₃C₁=3⁴

問題文にもあるように、n(A)=3×（ウ）=3×6=18

よって確率P(A)は
P(A)=n(A)/n(U)=18/3⁴=2/9
 

※ 「4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、（1）の（ⅱ）を振り返ることにより、3✕（　ウ　）通りあることがわかる。」

の補足

（1）の（ⅱ）では、3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（　ウ　）通りになることを求めました。

これを用いて、

試行1回目で[A]を引いた場合は、残り3回の試行でB、Cがそろっている取り出し方は（　ウ　）通りになります。

試行1回目で[B]を引いた場合は、残り3回の試行でC、Aがそろっている取り出し方は（　ウ　）通りになります。

試行1回目で[C]を引いた場合は、残り3回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（　ウ　）通りになります。

以上から、4回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、3✕（　ウ　）通りになります。

空欄（ケ）、（コ）を用いた手法を用います。

[A]、[B]、[C]カード3枚の試行回数5回の場合の数の総数n(U)は、n(U)=₃C₁・₃C₁・₃C₁・₃C₁・₃C₁=3⁵

（1）の（ⅲ）では、4回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（　エオ　）通りあることを求めました。

これを用いて、

試行1回目で[A]を引いた場合は、残り4回の試行でB、Cがそろっている取り出し方は（　エオ　）通りになります。

試行1回目で[B]を引いた場合は、残り4回の試行でC、Aがそろっている取り出し方は（　エオ　）通りになります。

試行1回目で[C]を引いた場合は、残り4回の試行でA、Bがそろっている取り出し方は（　エオ　）通りになります。

よって、5回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は、3✕（　エオ　）通りになります。

以上より、n(A)=3×（エオ）=3×14=42

5回目の試行で初めて A, B, C がそろう取り出し方は、

【4回の試行で2種類がそろっていて、かつ、5回目の試行で初めて残り１種類がそろうこと】を考える必要があります。

「5回目の試行で初めてA、B、Cがそろう」という事象は、「1~4回目までは2種類のみが出て、かつ5回目に残りの1種類が出る」ことを意味します。

5回目に初めて出るカードは3通りあります。
1~4回目は5回目に出るカード以外の2種類が出る必要があります。
ただし4回とも同じマークが出る場合は5回目で出るカードに関わらず5回目に3種類揃わないため除外して考える。
条件に合う出方は2⁴-2=14

5回目のカードの種類ごとに14通りの出方があるため、総数は3*14=42通りとなります。