大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問32 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問9)

箱の中にカードが2枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが1文字だけ書かれている。この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。

（2）箱の中に［A］、［B］［C］のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA、B、Cがそろうとは、n回の試行で［A］、［B］［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ［A］、［B］［C］のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。

（ⅰ）3回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方は（　ク　）通りある。よって、3回目の試行で初めてA、B、Cがそろう確率は（　ク　）／3³である。

（3）箱の中に［A］、［B］、［C］、［D］のカードが1枚ずつ全部で4枚入っている場合を考える。
以下では、6回目の試行で初めてA、B、C、Dがそろうとは、6回の試行で［A］、［B］、［C］、［D］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ、［A］、［B］、［C］、［D］のうちいずれか1枚が6回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
また、3以上5以下の自然数nに対し、6回の試行のうちn回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろうとは、6回の試行のうち1回目からn回目の試行で、［A］、［B］、［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、［D］は1回も取り出されず、かつ、［A］、［B］、［C］のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。6回の試行のうちn回目の試行で初めてB、C、Dだけがそろうなども同様に定める。

太郎さんと花子さんは、6回目の試行で初めてA、B、C、Dがそろう確率について考えている。

太郎：例えば、5回目までに［A］、［B］、［C］のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ6回目に初めて［D］が取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子：それなら、初めてA、B、Cだけがそろうのが、3回目のとき、4回目のとき、5回目のときで分けて考えてみてはどうかな。

6回の試行のうち3回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう取り出し方が（　ク　）通りであることに注意すると、「6回の試行のうち3回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めて［D］が取り出される」取り出し方は（　スセ　）通りあることがわかる。
同じように考えると、「6回の試行のうち4回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めて［D］が取り出される」取り出し方は（　ソタ　）通りあることもわかる。
以上のように考えることにより、6回目の試行で初めてA、B、C、Dがそろう確率は（　チツ　）／（　テトナ　）であることがわかる。

（　ソタ　）にあてはまるものを1つ選べ。