共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問33 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10)

まず、6回目に初めてDが出る場合を考えます。
このとき、1回目から5回目まではA、B、Cだけが出て、しかもA、B、Cがすべてそろっている必要があります。

前問までで、

3回目に初めてA、B、Cだけがそろう場合は54通り
4回目に初めてA、B、Cだけがそろう場合は54通り

でした。

次に、5回目に初めてA、B、Cだけがそろう場合を数えます。

5回目に初めてそろうには、1回目から4回目まではA、B、Cのうち2種類だけが出ていて、5回目に残りの1種類が初めて出る必要があります。

まず、1回目から4回目までに出ないカードを、A、B、Cの中から選ぶので、 3通り です。

次に、残りの2種類を使って1回目から4回目までを並べます。
ただし、2種類とも少なくとも1回は出ている必要があります。

2種類で4回並べる方法は

2⁴＝16通り

です。
そのうち、全部同じになる場合が2通りあるので除きます。

16−2＝14通り

です。

したがって、1回目から4回目までの並び方は

3×14＝42通り

です。

5回目は、まだ出ていなかった1種類に決まります。
6回目はDに決まります。

よって、5回目に初めてA、B、Cだけがそろい、6回目に初めてDが出る場合は 42通り です。

ここまでを合わせると、6回目に初めてDが出る場合は

54＋54＋42＝150通り

です。

ただし、6回目に初めて出るカードはDだけとは限りません。
A、B、C、Dのどれが最後に出る場合でも同じように数えられるので、

150×4＝600通り

です。

6回の試行では、毎回4種類のカードのどれかが出るので、すべての取り出し方は

4⁶＝4096通り

です。

したがって、求める確率は

600／4096

です。

これを約分すると、 75／512 となります。

６回の試行のうち５回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう取り出し方は、

【５回目の試行で初めてA、B、Cがそろい】かつ【6回目の試行で初めてDが取り出される】場合を考えます。

【５回目の試行で初めてA、B、Cがそろう】　（２）（ⅲ）より４２通り

【6回目の試行で初めてDが取り出される】　１通り

よって、４２×１＝４２通り　となります。

以上のように考えると、

【５回の試行までにＡ，Ｂ，Ｃだけがそろい、かつ６回目の試行で初めてＤが取り出される】数は

54+54+42＝150通りとなります。

６回目がAの場合、Bの場合、Cの場合、Dの場合と考えられるので

６回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄがそろうのは、150×4＝600通りとなります。

6回の試行は4⁶＝4096通りなので、確率は600/4096＝75/512となります。

（分母分子は計算してから解かず、約分しながら解きましょう！） 

チツ 75　テトナ 512

5回目までにどのアルファベットのカードがでるかは4C3=4通り考えられます。
この4パターンは5回目までにD以外のどのアルファベットが出ていても起こる場合の数は同じであるため、「5回目までに{A,B,C}がそろい、6回目にDが初めて出る」場合の数を求め、それを4倍します。

(i)3回目で初めてA,B,Cがそろい、6回目にDが出る場合
これは「3回目で初ABC、4,5回目はABC、6回目はD」ということです。

「6回の試行のうち3回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方を求めます。

(i)1回目から3回目まで
「3回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう」
これはA,B,Cの順列で求められるので6通りです。

(ii)4回目と5回目
「6回目で初めてDが取り出される」ので、この2回の試行ではDは出てはいけません。
また、「A、B、Cだけがそろう」状況なので、出るカードはA、B、Cのいずれかです。
4回目に出るカードはA,B,Cの3通り。
5回目に出るカードもA,B,Cの3通り。
よって、この部分の取り出し方は3*3=9通りです。

(iii)6回目
「初めてDが取り出される」ので、Dの1通りです。

(i)~(iii)より
6*9*1=54通り

(ii)4回目で初めてA,B,Cがそろい、6回目にDが出る場合
これは「4回目で初ABC、5回目はABC、6回目はD」ということで、54通りです。

(i)4回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう場合
これは、「4回目に出るカードが、1〜3回目には一度も出ていない種類である」ということです。

例えば、「4回目にCが初めて出る」場合を考えます。
このとき、1〜3回目はAとBの2種類だけで構成されている必要があります。
A,Bの2種類で3回の試行を行う場合の数は2³=8通りです。
しかし、「Aのみ」のみと「Bのみ」は条件を満たさないため、
8-2=6通り。

「4回目にBが初めて出る」場合も同様に6通り、「4回目にAが初めて出る」場合も同様に6通りあるため、合計は6*3=18通りとなります。

(ii)**5回目**
6回目に初めてDが出るので、A,B,Cの3通りです。

(iii)**6回目**
初めてDが出るので、Dの1通りです。

(i)~(iii)より
18*3*1=54通り

(iii)5回目で初めてA,B,Cがそろい、6回目にDが出る場合
1〜5回目で初めてA,B,Cがそろう場合の数を求めます。
「5回目に初めてCが出る」とすると、1〜4回目はA,Bのみ(Aだけ、Bだけは除く)となります。
その場合の数は、(2⁴-2)=14通り。
初めて出るのがA,B,Cの3パターンあるので、14*3=42通りです。
そして、6回目にDが出るのは1通りなので、42*1=42通りとなります。

(i),(ii),(iii)を合計すると、「5回目までに{A,B,C}がそろい、6回目にDが初めて出る」場合の数は、
54+54+42=150通り
となります。

これが4パターンあるので、6回目で初めて4種類がそろう場合の数の合計は、
150*4=600通り
です。

最後に確率を計算します。
全事象は、4枚のカードで6回の試行を行うので、
4⁶=4096通り
です。

よって、求める確率は、
600/4096=75/512
となります。