大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問39 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6)

T3とT4が同時に012と表示されるまでの時間mを求めます。
まず、T3について考えます。

T3は3進数を3桁で表示するので、最大の数は222₍₃₎です。
222₍₃₎を10進数に変換すると、
222₍₃₎
=2*3²+2*3¹+2*3⁰
=2*9+2*3+2*1
=18+6+2
=26
よって、T3の周期は26+1=27秒です。

T3が012と表示するのは、012₍₃₎を10進数に変換した時間なので、
012₍₃₎
=0*3²+1*3¹+2*3⁰
=0+3+2
=5

つまり、T3が012と表示される時間mは、27で割った余りが5である必要があります。
これを合同式で表すとm≡5(mod27)となります。

一方、T4が012と表示される時間mは、以下の考察から、mを64で割った余りが6である必要があります。

T4は4進数を3桁で表示するので、表示される数は000(4)から333(4)までです。

333(4)
=3*4²+3*4¹+3*4⁰
=3*16+3*4+3*1
=48+12+3=63

これは、タイマーが0から63までの64個の数を表示することを意味します。
問題の条件(b)より、最大の数63が表示された1秒後に000に戻るので、スタートしてから64秒後に000に戻ります。
したがって、T4タイマーの周期は64秒です。

次に、T4が012と表示されるのが何秒後かを考えます。
012(4)
=0*4²+1*4¹+2*4⁰
=0+4+2=6

これは、スタートしてから6秒後に初めて012(4)と表示されることを意味します。
T4の周期は64秒なので、その後は64秒ごとに繰り返し012(4)と表示されます。
よって、0以上の整数lに対して、T4をスタートさせたl秒後にT4が012と表示されるのは、lを64で割った余りが6になるときです。
これを合同式で表すとl≡6(mod64)となります。

合同式で表すとm≡6(mod64)となります。

求める時間mは、これら2つの合同式を同時に満たす最小の正の整数です。
m=27k+5(kは0以上の整数)
m=64j+6(jは0以上の整数)
と表せるので、
27k+5=64j+6
27k-64j=1
という一次不定方程式を解きます。

ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求めると、
64=2*27+10
27=2*10+7
10=1*7+3
7=2*3+1

これを逆にたどっていくと、
1=7-2*3
=7-2*(10-7)=3*7-2*10
=3*(27-2*10)-2*10=3*27-8*10
=3*27-8*(64-2*27)=19*27-8*64

よって、27*19-64*8=1が成り立ち、特殊解の一つとして(k,j)=(19,8)が見つかります。

これをmの式に代入すると、
m=27*19+5=513+5=518
m=64*8+6=512+6=518
k,jが最小の正の整数となる場合を考えると、このm=518が初めて同時に表示される時間となります。