共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問41 (数学Ⅰ・数学A（第5問）問1)

問題文

図1のように、平面上に5点A、B、C、D、Eがあり、線分AC、CE、EB、BD、DAによって、星形の図形ができるときを考える。線分ACとBEの交点をP、ACとBDの交点をQ、BDとCEの交点をR、ADとCEの交点をS、ADとBEの交点をTとする。

ここでは
AP：PQ：QC＝2：3：3、　AT：TS：SD＝1：1：3
を満たす星形の図形を考える。
以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。

（1）ΔAQDと直線CEに着目すると

（QR／RD）・（DS／SA）・（［　ア　］／CQ）＝1

が成り立つので

QR：RD＝（　イ　）：（　ウ　）

となる。また、ΔAQDと直線BEに着目すると

QB：BD＝（　エ　）：（　オ　）

となる。したがって

BQ：QR：RD＝（　エ　）：（　イ　）：（　ウ　）

となることがわかる。

［　ア　］にあてはまるものを1つ選べ。問題文の画像

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問41（数学Ⅰ・数学A（第5問）問1）（訂正依頼・報告はこちら）

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この過去問の解説（3件）

（※問題文同様に、線分ACの長さをACと記します。）
メネラウスの定理を三角形ADQに適用します。
すると、本設問の空欄の部分は AC である事になります。
（AQ を延長した線分の長さになります。）

「AC」の選択肢が設問（ア）の解答となります。

選択肢1. AC

問題文の式の形からメネラウスの定理を使う事が判定できます。
（もちろん図からも、やや複雑ですが判定できます。）

覚えやすいとは言えない定理ですが式には特徴があります。
本設問の記号を使うと、
QR/RD の次はD から始まりDS/SA が続き、
その次はA から始まり AC/CQ となり、
(QR/RD)・(DS/SA)・(AC/CQ) = 1 となります。
3組の分母と分子のそれぞれに、

必ず同じ点が1つずつ含まれているのも特徴です。

QR/RD には R、

DS/SA にはS、

AC/CQはにはCがそれぞれ含まれています。

選択肢3. AQ

メネラウスの定理で間違えやすい部分の1つかと思われます。
三角形の辺を延長した部分は、本設問で言うと「AC」/CQ を使わないといけません。
（他の2辺では QR/RD のように三角形の辺を分割するような組になっています。）

まとめ

メネラウスの定理の内容が直接問われている設問です。
決して覚えやすい定理ではないと思われますが、
問われているのは6つ使われる中の1つの線分だけです。
線分CQと組になっている部分が抜けている事に着目すると、もし部分的に定理の内容を忘れていても思い出せるかもしれません。
式単独だけでは覚えにくく、また間違えやすい定理だと思われます。
図形を使った問題を多く解いて慣れましょう。

参考までに、メネラウスの定理の証明を記載します。
本設問での記号を使うと、線分CSに平行で点Qを通る直線を引きます。
その直線と線分ADの交点を新たにZとします。
すると、三角形の相似関係より次の2式が成立します。
AC/CQ = SA/ZS
DS/RD = ZS/QR
すると、
(QR/RD)・(DS/SA)・(AC/CQ)
= (DS/RD)・(QR/SA)・(AC/CQ)
= (ZS/QR)・(QR/SA)・(SA/ZS)
= 1 が成立します。
（ZS, QR, SA がそれぞれ分母と分子で打ち消し合います。）