共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問42 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問2)

（※問題文同様に、線分ACの長さをACと記します。）
問題文より、
AP：PQ：QC = 2：3：3 なので AC/CQ = 8/3
同じく問題文より、
AT：TS：SD = 1：1：3 なので DS/SA = 3/2

前問（ア）より（メネラウスの定理より）、
(QR/RD)・(DS/SA)・(AC/CQ) = 1 なので、
QR/RD = (3/8)・(2/3) = 1/4
よって QR : RD = 1: 4

イ：1　ウ：4　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（ア）

メネラウスの定理を三角形ADQに適用します。
すると、本設問の空欄の部分は AC である事になります。
（AQ を延長した線分の長さになります。）

 

△AQDと直線CEに着目して、メネラウスの定理を利用して求めましょう。

ΔAQDにおいて、直線CEは、辺QDと点Rで、辺DAと点Sで、そして辺AQの延長線と点Cで交わっています。
したがって、メネラウスの定理より、

(QR/RD)・(DS/SA)・(AC/CQ) = 1

条件より、

AP：PQ：QC=2：3：3

ACの比は

AP+PQ+QC

=2+3+3

=8

CQの比は3です。
よって、AC/CQ=8/3となります。

また、

AT：TS：SD=1：1：3

なので、SAの比は

AT+TS=1+1=2

となり、DSの比は3です。
よって、DS/SA=3/2となります。

これらの値をメネラウスの定理の式に代入すると、

(QR/RD)・(3/2)・(8/3)=1
(QR/RD)・4=1
QR/RD=1/4

したがって、QR：RD=1：4となります。