共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問5)

まず方べきの定理を使い、
次にメネラウスの定理を使い（設問（イ）（ウ））、
再度メネラウスの定理を使う（設問（エ）（オ））という流れになっています。

上記解説ではBD = BQ + DQ という、

シンプルですが結果を得るうえで重要な関係式にも注意しましょう。

これまで、

BQ：QR：RD＝３：１：４、DR＝４√３とわかっています。このことから、BQ＝３√３、QR＝√３、DQ＝５√３と求められます。

BQ・DQ＝３√３×５√３＝４５

キク ４５

BQ：QR：RD＝３：１：４についてこれまでの説明を記します。

ＱＲ：ＲＤ＝1：4

ＱB：BＤ＝3：8

BQ：QR：RD＝３：１：４

条件より、AC=8であり、AP:PQ:QC=2:3:3です。
線分ACの比の合計は2+3+3=8なので、それぞれの長さは以下のようになります。
AP=(2/8)*8=2
PQ=(3/8)*8=3
QC=(3/8)*8=3
したがって、AQの長さはAP+PQ=2+3=5となります。

次に、「5点P、Q、R、S、Tが同一円周上にある」という条件に着目します。
この5点を通る円を考えると、点Aは、この円の2つの弦PQとTSを含む直線(それぞれ直線ACと直線AD)の交点です。
したがって、点Aについて方べきの定理が成り立ちます。
AT*AS=AP*AQ
AT*AS=2*5=10

ここで、AT:TS:SD=1:1:3より
AT=kとおくと、TS=k、SD=3kとなります。
AS=AT+TS=k+k=2kです。
これを方べきの定理の式に代入すると、
k*(2k)=10
2k²=10
k²=5
k=√5
よって、AT=√5、TS=√5、SD=3√5となります。
この結果から、AS=2√5、AD=5√5、TD=TS+SD=4√5であることが分かります。

続いて、点Dについて同様に方べきの定理を考えます。
点Dは、円の2つの弦QRとSTを含む直線(それぞれ直線BDと直線AD)の交点です。
したがって、方べきの定理より、
DQ*DR=DS*DT

DS=3√5、DT=TS+SD=√5+3√5=4√5なので、
DQ*DR=(3√5)*(4√5)=12*5=60
となります。

次に、線分BQとDQの比を求めるために、メネラウスの定理を利用します。
△ADQと、その3辺(または延長線)を切る直線BPEに着目します。
メネラウスの定理より、
(AT/TD)*(DB/BQ)*(QP/PA)=1
(√5/4√5)*(DB/BQ)*(3/2)=1
(1/4)*(DB/BQ)*(3/2)=1
(3/8)*(DB/BQ)=1
DB/BQ=8/3

DB=BQ+QDなので、(BQ+QD)/BQ=8/3となり、
1+(QD/BQ)=8/3
QD/BQ=5/3
よって、BQ:QD=3:5という関係が分かります。

BQ=3m,DQ=5mとおくと、
BQ*DQ=15m²

今度は、△ADQと、その3辺(または延長線)を切る直線CREに着目します。
メネラウスの定理より、
(AC/CQ)*(QR/RD)*(DS/SA)=1
(8/3)*(QR/RD)*(3√5/2√5)=1
(8/3)*(QR/RD)*(3/2)=1
4*(QR/RD)=1
RD=4QR

QD=QR+RDであるため、RD=4QRを代入すると、
QD=QR+4QR=5QR
となり、QR=(1/5)QD、RD=(4/5)QD

この関係を、DQ*DR=60に代入します。
DQ*((4/5)QD)=60
(4/5)DQ²=60
DQ²=60*(5/4)=75

よって
BQ=(3/5)DQとなるため

BQ*DQ

=(3/5)DQ*DQ

=(3/5)DQ²
BQ*DQ=(3/5)*75=45
となります。