共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問44 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4)

円に内接する四角形の1組の対角の和は180°である事を利用して、
三角形の相似関係から AP・AQ = AT・AS を導出する事もできます。
それは、この場合の方べきの定理の証明方法でもあります。

線分APと線分AQの長さについては、
AC = 8 という条件が付け加えられ、
AP:PQ:QC = 2:3:3 という問題文の設定から求める事ができます。

結果が平方根の形になるのは、AS = 2AT の関係を使う事によります。

その事は問題文にも間接的に記されていますが、
AT:TS:SD = 1:1:3 の設定によるものです。
 

今回は、方べきの定理を使って問題を解きます。以下の図に注目して、解いていきます。

今、AP：PQ：QC＝２：３：３、AC＝８、AT：AS＝1：2ということがわかっています。

ACの長さが8で、AP：PQ：QC＝２：３：３の比の合計も8なので、AP＝2、PQ＝3、QC＝3と言えます。

方べきの定理により、ATの長さを求めます。

AT・AS=AP・AQ

AT・２AT＝２・５　（AT：AS＝1：2よりAS=2AT）

２AT^２＝１０

AT^２＝５

AT＞０より　AT＝√５　となります。

カ ５

これより、AT：TS：SD＝1：1：3に当てはめると、AT＝√５　TS＝√５　SD＝３√５　となることがわかります。

DR＝４√３　とありますが、これも同様に方べきの定理で求めることができます。

5点D、Q、R、S、Tに着目すると、方べきの定理より、DR・DQ=DS・DTとなります。

DS＝３√５、DT＝４√５、また前問より、QR：RD = 1：4とわかっているので、

DR・DQ=DS・DT

DR・5/4DR=３√５・４√５

5/4DR²=60

DR²=48

DR>0より、DR＝４√３となります。

線分ACについて、全体の長さがAC=8であり、線分比がAP：PQ：QC＝2：3：3と与えられています。
比の合計は8なので、それぞれの線分の長さは

AP=8*(2/8)=2
PQ=8*(3/8)=3

となり、

AQ
=AP+PQ
=5

次に、線分ADについて考えます。
ATの長さをxとします。
線分比がAT：TS：SD＝1：1：3なので、TS=xとなります。
したがって、
AS
=AT+TS
=2x

点Aは円の外部の点であり、直線ACと直線ADはこの円の割線と見なせるので方べきの定理より、AP*AQ=AT*ASという関係が成り立ちます。

よって
2*5=x*(2x)
10=2x²
x²=5
となります。

AT=xなのでAT=√5となります。