共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問49 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9)

（※問題文同様に、線分ACの長さをACと記します。）

前問（サ）より XQ < DQ であり、
問題文によりXは直線BD上にあります。
また、図の位置関係により、XはQから見て直線のD側にあります。
よって、Xは線分QD上にあり、QおよびDと異なる点です。
つまり、点DはA, B, C, Xを通る円の外側にあります。

「外部」の選択肢が設問（シ）の解答となります。

前問（サ）

設問（ケ）より、
AQ・CQ < BQ・DQ
前問（コ）より、
AQ・CQ = BQ・XQ
よって、BQ・XQ < BQ・DQ であり、
XQ < DQ

設問（コ）

問われているのはAQ・CQ と BQ・XQ の値の大小関係です。
A, C, B, X は同一円周上にある事に注意すると、
方べきの定理によりAQ・CQ = BQ・XQ が成立する事が分かります。

 

本設問では AQ・CQ と BQ・XQ の大小関係だけが問われています。
「=」の選択肢が設問（コ）の解答となります。

設問（ケ）

前問（キク）の結果より、BQ・DQ = 45 です。
その値と、15 の大小を比べます。
15 < 45 より、 AQ・CQ < BQ・DQ となります。

設問（キク）

問題文より、T, S, R, Q は同一円周上にあります。
よって、方べきの定理により、
DQ・DR = DT・DS です。

 

前問（カ）より AT = √5 なので、
問題文の設定 AT:TS:SD = 1:1:3 より
DT = 4√5, DS = 3√5 であるため、
DT・DS = 60
よって、
DQ・DR = 60

設問（イ）（ウ）の結果より、
QR/RD = 1/4 ⇔ RD = 4QR
DQ = QR + DR = 5QR なので、
DQ・DR = 60 は
5QR・4QR = 60 と変形でき、
QR² = 3 となります。
よって、QR = √3, DQ = 5√3, DR = 4√3

 

ここで、設問（エ）（オ）より、
BD/BQ = 8/3
⇔ BD = (8/3)BQ であり、
BD = BQ + DQ に注意すると、
BQ + DQ = (8/3)BQ となるので、
BQ +5√3 = (8/3)BQ 
⇔ (5/3)BQ = 5√3
⇔ BQ = 3√3

 

よって、
BQ・DQ = (3√3)・5√3 = 45

 

設問（カ）

問題文より AC = 8 であり、AP:PQ:QC = 2:3:3 なので、
AP = 2, AQ = 5
P, Q, S, T が同一円周上にあるという条件から、
方べきの定理により、
AP・AQ = AT・AS
AS = 2AT より、
2・5 = 2AT²
⇔ 5 = AT²
よって、AT = √5

設問（イ）（ウ）

問題文より、
AP：PQ：QC = 2：3：3 なので AC/CQ = 8/3
同じく問題文より、
AT：TS：SD = 1：1：3 なので DS/SA = 3/2

前問（ア）より（メネラウスの定理より）、
(QR/RD)・(DS/SA)・(AC/CQ) = 1 なので、
QR/RD = (3/8)・(2/3) = 1/4
よって QR : RD = 1: 4

設問（ア）

メネラウスの定理を三角形ADQに適用します。
すると、本設問の空欄の部分は AC である事になります。
（AQ を延長した線分の長さになります。）

設問（エ）（オ）

求める比が QB:BD である事もヒントにして、
三角形AQDの辺DQを延長した場合のメネラウスの定理を考えます。
その時にメネラウスの定理により、
(BD/BQ)・(QP/PA)・(AT/TD) = 1
問題文の条件より、
QP/PA = 3/2
AT/TD = 1/(1 + 3) = 1/4 
これらより、
BD/BQ = (2/3)・4 = 8/3
よって、QB:BD = BQ:BD = 3:8

 

前問までの内容を整理します。

 

AQ・CQ＜BQ・DQ

AQ・CQ＝BQ・XQ　より

BQ・XQ＜BQ・DQ

XQ＜DQ　が得られます。

このことをもとに、位置関係を考えて行きます。

条件より、AC=8であり、AP:PQ:QC=2:3:3です。
線分ACの比の合計は2+3+3=8なので、それぞれの長さは以下のようになります。
AP=(2/8)*8=2
PQ=(3/8)*8=3
QC=(3/8)*8=3
したがって、AQの長さはAP+PQ=2+3=5となります。

次に、「5点P、Q、R、S、Tが同一円周上にある」という条件に着目します。
この5点を通る円を考えると、点Aは、この円の2つの弦PQとTSを含む直線(それぞれ直線ACと直線AD)の交点です。
したがって、点Aについて方べきの定理が成り立ちます。
AT*AS=AP*AQ
AT*AS=2*5=10

ここで、AT:TS:SD=1:1:3より
AT=kとおくと、TS=k、SD=3kとなります。
AS=AT+TS=k+k=2kです。
これを方べきの定理の式に代入すると、
k*(2k)=10
2k²=10
k²=5
k=√5
よって、AT=√5、TS=√5、SD=3√5となります。
この結果から、AS=2√5、AD=5√5、TD=TS+SD=4√5であることが分かります。

続いて、点Dについて同様に方べきの定理を考えます。
点Dは、円の2つの弦QRとSTを含む直線(それぞれ直線BDと直線AD)の交点です。
したがって、方べきの定理より、
DQ*DR=DS*DT

DS=3√5、DT=TS+SD=√5+3√5=4√5なので、
DQ*DR=(3√5)*(4√5)=12*5=60
となります。

次に、線分BQとDQの比を求めるために、メネラウスの定理を利用します。
△ADQと、その3辺(または延長線)を切る直線BPEに着目します。
メネラウスの定理より、
(AT/TD)*(DB/BQ)*(QP/PA)=1
(√5/4√5)*(DB/BQ)*(3/2)=1
(1/4)*(DB/BQ)*(3/2)=1
(3/8)*(DB/BQ)=1
DB/BQ=8/3

DB=BQ+QDなので、(BQ+QD)/BQ=8/3となり、
1+(QD/BQ)=8/3
QD/BQ=5/3
よって、BQ:QD=3:5という関係が分かります。

BQ=3m,DQ=5mとおくと、
BQ*DQ=15m²

今度は、△ADQと、その3辺(または延長線)を切る直線CREに着目します。
メネラウスの定理より、
(AC/CQ)*(QR/RD)*(DS/SA)=1

それぞれの値を代入すると、
(8/3)*(QR/RD)*(3√5/2√5)=1
(8/3)*(QR/RD)*(3/2)=1
4*(QR/RD)=1
RD=4QR

図より、点Rは線分QD上の点なので、QD=QR+RDの関係があり、この式にRD=4QRを代入すると、
QD=QR+4QR=5QR
となり、QR=(1/5)QD、RD=(4/5)QDであることが分かります。

この関係を、先ほど求めた方べきの定理の式DQ*DR=60に代入します。
DQ*((4/5)QD)=60
(4/5)DQ²=60
DQ²=60*(5/4)=75

よって
BQ=(3/5)DQの関係があるので、
BQ*DQ=(3/5)DQ*DQ=(3/5)DQ²
BQ*DQ=(3/5)*75=45
となります。

上記より
AQ・CQ<BQ・DQ・・・・・①
となります。

 

ここでは、「3点A、B、Cを通る円」を考えています。
この円において、直線ACと直線BDは点Qで交わっています。
点A、点C、点B、そして直線BD上でBと異なる点Xは、すべてこの円の周上の点です。

円の内部または外部の点から円に2本の直線を引き、それぞれが円と2点で交わるとき、「方べきの定理」が成り立ちます。
この問題では、点Qが交点にあたります。
点Qを通る直線が円と点A、Cで交わり、もう一方の直線が円と点B、Xで交わっているので、方べきの定理を適用すると、

AQ・CQ=BQ・XQ・・・・・②
となります。

 

①②より

BQ・XQ < BQ・DQ

という不等式が成り立ちます。
BQ>0より
XQ < DQ
となります。

点Qは線分AC上の点であり、AQ・CQ = 15 と正の値なので、点Qは「3点A、B、Cを通る円」の内部にあることが分かります。
点Xは、この円の周上の点です。
したがって、「XQ」は、円の内部の点Qから円周上の点Xまでの距離を表します。

一方、「DQ」は、同じく円の内部の点Qから点Dまでの距離を表しています。
「XQ < DQ」という関係は、点Qから測ったときに、点Dは円周上の点Xよりも遠くにあることを意味します。
円の内部の点Qから見て、円周上の点よりも遠い位置にあるということは、点Dがその円の「外部」にあることを示しています。

もし点Dが円の内部にあれば XQ > DQ となり、円周上にあれば XQ = DQ となります。
上記の XQ < DQより点Dは3点A、B、Cを通る円の外部にあることが分かります。