共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問50 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問10)

この設問でも方べきの定理が重要になります。
方べきの定理により CS・ES = DS・YS であり、
問題文から CS・ES = 18 であり、
設問（カ）と問題文から  DS = 3√5 なので、
YS = 18/(3√5) = (6/5)√5 < 2√5 = AS により判定を行います。
 

3点C、D、Eを通る円と2点A、Bとの位置関係について、前問と同じ流れで解いていくと、位置関係が見えてきます。点Aとの位置関係から見ていきましょう。

まず、AS・DS＝2√5・3√5＝30　かつ　CS・ES＝6・3＝18であるから　CS・ES＜AS・DSが成り立ちます。

また、3点C、D、Eを通る円と直接ADとの交点のうち、Dと異なる点をYとすると、

方べきの定理より、CS・ES＝YS・DSが成り立ちます。

左辺が同じなので、

YS・DS＜AS・DS

YS＜ASが得られます。よって、点Aは3点C、D、Eを通る円の外部に位置します。

ス 外部

点Aを通り、円CDEと点Dで交わる直線ADに着目します。

ここで、直線ADと直線CEの交点Sを利用します。
点Sは、問題文の条件「CR＝RS＝SE＝3」から、円CDEの弦である線分CE上の点です。
弦上の点は必ず円の内部にあるので、点Sは円CDEの内部にあります。

点Sに関して方べきの定理を考えると、
（SからCまでの距離）*（SからEまでの距離）と、
（SからDまでの距離）*（Sから、直線ADと円CDEが交わるもう一つの点D'までの距離）
の積は等しくなります。

問題文の条件から、SC=RS+CR=3+3=6、SE=3です。
よって、方べきの値（の絶対値）はSC*SE=6*3=18となります。

次に、直線AD上の長さについて考えます。
5点P,Q,R,S,Tが同一円周上にあるという条件から、この円に関する方べきの定理が使えます。
点Aは、直線PQと直線STの交点と見なせるので、
AP*AQ=AT*AS
が成り立ちます。

AC=8でAP：PQ：QC＝2：3：3なので、
AP
=8*(2/(2+3+3))
=2
AQ
=AP+PQ
=2+(8*(3/8))
=5
よって、
AP*AQ=2*5=10
です。

AT：TS：SD＝1：1：3なので、AT=xとおくと、TS=x,SD=3xとなります。
AS
=AT+TS
=2x
です。
AT*AS
=x*(2x)
=2x²
となります。

したがって、2x²=10より、x=√5と求まります。
これにより、各線分の長さが
AT=√5,TS=√5,SD=3*√5=3√5,AS=2√5
となります。

ここで、
SD*SD'=18であり、SD=3√5なので、
SD'
=18/(3√5)
=6/√5となります。
点Sは円の内部にあるため、点D'は、Sを基準としてDとは反対側にあります。

直線AD上の点の位置関係を、Sを基準に考えます。
点Aは、Sから見てDとは反対側にあり、その距離はAS=2√5です。
点D'も、Sから見てDとは反対側にあり、その距離はSD'=6/√5です。

ここで、ASとSD'の長さを比べると、
AS
=2√5
=10/√5
SD'=6/√5
となり、AS>SD'であることがわかります。

つまり、直線AD上では、点はA-D'-S-Dの順に並んでいます。
点Aは、円CDEと直線ADの交点であるDとD'を結ぶ線分D'Dの外側にあります。
したがって、点Aは円CDEの外部にあることがわかります。