共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問51 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問11)

（※問題文同様に、線分ACの長さをACと記します。）
方べきの定理を使って判定を行います。
直線BD上の「点C, D, Eを通る円」との交点をZとし、
点Rに着目すると方べきの定理より、CR・ER = DR・ZR です。

問題文により ER = ES + RS = 3 + 3 = 6, CR = 3 であり、
設問（キク）より DR = 4√3 であるので、
ZR = CR・ER/DR = 18/(4√3) = (3/2)√3 です。
ここで再び設問（キク）より QR = √3, BQ = 3√3 なので、
BR = √3 + 3√3 = 4√3 >  (3/2)√3 = ZR

よって、 
点Bは「点C, D, E, Zを通る円」の外側にある事が分かります。

「外部」の選択肢が設問（セ）の解答となります。

設問（キク）

問題文より、T, S, R, Q は同一円周上にあります。
よって、方べきの定理により、
DQ・DR = DT・DS です。

 

前問（カ）より AT = √5 なので、
問題文の設定 AT:TS:SD = 1:1:3 より
DT = 4√5, DS = 3√5 であるため、
DT・DS = 60
よって、
DQ・DR = 60

設問（イ）（ウ）の結果より、
QR/RD = 1/4 ⇔ RD = 4QR
DQ = QR + DR = 5QR なので、
DQ・DR = 60 は
5QR・4QR = 60 と変形でき、
QR² = 3 となります。
よって、QR = √3, DQ = 5√3, DR = 4√3

 

ここで、設問（エ）（オ）より、
BD/BQ = 8/3
⇔ BD = (8/3)BQ であり、
BD = BQ + DQ に注意すると、
BQ + DQ = (8/3)BQ となるので、
BQ +5√3 = (8/3)BQ 
⇔ (5/3)BQ = 5√3
⇔ BQ = 3√3

 

よって、
BQ・DQ = (3√3)・5√3 = 45

 設問（カ）

問題文より AC = 8 であり、AP:PQ:QC = 2:3:3 なので、
AP = 2, AQ = 5
P, Q, S, T が同一円周上にあるという条件から、
方べきの定理により、
AP・AQ = AT・AS
AS = 2AT より、
2・5 = 2AT²
⇔ 5 = AT²
よって、AT = √5

設問（イ）（ウ）

問題文より、
AP：PQ：QC = 2：3：3 なので AC/CQ = 8/3
同じく問題文より、
AT：TS：SD = 1：1：3 なので DS/SA = 3/2

前問（ア）より（メネラウスの定理より）、
(QR/RD)・(DS/SA)・(AC/CQ) = 1 なので、
QR/RD = (3/8)・(2/3) = 1/4
よって QR : RD = 1: 4

設問（ア）

メネラウスの定理を三角形ADQに適用します。
すると、本設問の空欄の部分は AC である事になります。
（AQ を延長した線分の長さになります。）

設問（エ）（オ）

求める比が QB:BD である事もヒントにして、
三角形AQDの辺DQを延長した場合のメネラウスの定理を考えます。
その時にメネラウスの定理により、
(BD/BQ)・(QP/PA)・(AT/TD) = 1
問題文の条件より、
QP/PA = 3/2
AT/TD = 1/(1 + 3) = 1/4 
これらより、
BD/BQ = (2/3)・4 = 8/3
よって、QB:BD = BQ:BD = 3:8

3点C、D、Eを通る円と点Bとの位置関係について見ていきます。

円Ωを「3点C、D、Eを通る円」とします。
点と円の位置関係は、「方べきの定理」で考えることができます。
点Bと円Ωに関する方べきの値の符号を調べます。