共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問112 (数学Ⅱ・数学B（第5問）問8)

問題文

点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl₁とし、C、Dを通る直線をl₂とする。

（3）点Pがl₁上を動き、点Qがl₂上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標は（［　セソ　］、［　タチ　］、［　ツテ　］）、Qの座標は（［　トナ　］、［　ニヌ　］、［　ネノ　］）である。

（　トナ　）、（　ニヌ　）、（　ネノ　）にあてはまるものを1つ選べ。

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問112（数学Ⅱ・数学B（第5問）問8）（訂正依頼・報告はこちら）

トナ：−7　　ニヌ：12　　ネノ：−2
トナ：−8　　ニヌ：12　　ネノ：−3
トナ：−8　　ニヌ：13　　ネノ：−4
トナ：−7　　ニヌ：13　　ネノ：−5

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この過去問の解説（2件）

（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）

前問（セ）～（テ）と同様に考えます。
実数 t を用いて →CQ = t →CD とすると、
→OQ = →OC + →CQ = →OC + t →CD
= (-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1)

ただし、→PQ = →OQ - →OP の計算方法を少し変えます。

設問（キ）～（サ）の途中計算により、
→OP = →OA + s →AB = (2, 7, -1) + s (1, -1, 1)

これを使う事で、
→PQ = →OQ - →OP
=(-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1) - (2, 7, -1) - s (1, -1, 1)
= (-10 -t, 3 - 2t, -2 -t) - s (1, -1, 1)

問題文の条件を満たすとき、
直線PQと直線ABが垂直に交わり、かつ直線PQと直線CDが垂直に交わります。
→PQ ・→CD = 0 を考えると、
設問（オ）より →AB・→CD = 0 であった事に注意して、
→PQ ・→CD = (-10 -t, 3 - 2t, -2 -t)・(-1, -2, -1) - 0

よって、→PQ ・→CD = 0 を考えると、
10 + t - 6 + 4t +2 + t = 0
⇔ 6t = -6
⇔ t = -1

→OQ = (-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1) であったので、
→OQ = (-8, 10, -3) + (1, 2, 1)
= (-7, 12, -2)

トナ：-7　ニヌ：12　ネノ：-2 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（セ）～（テ）

設問（キ）～（サ）より、
→OP = (2 + s, 7 - s, -1 + s)
実数 t を用いて →CQ = t →CD とすると、
→OQ = →OC + →CQ = →OC + t →CD
= (-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1)

→PQ = →OQ - →OP
= (-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1) - (2 + s, 7 - s, -1 + s)
= (-10 - s, 3 + s , -2 - s) + t (-1, -2, -1)

問題文の条件を満たすとき、
直線PQと直線ABが垂直に交わり、かつ直線PQと直線CDが垂直に交わります。
まず →PQ ・→AB = 0 を考えると、
設問（オ）より →AB・→CD = 0 であった事に注意して、
→PQ ・→AB = (1, -1, 1)・ (-10 - s, 3 + s , -2 - s) + 0
よって、→PQ ・→AB = 0 を考えると、
-10 - s - 3 - s - 2 - s = 0
⇔ 3s = -15 ⇔ s = -5

→OP = (2 + s, 7 - s, -1 + s) であったので、
→OP = (-3, 12, -6)

設問（キ）～（サ）

前問（カ）および設問（ア）～（エ）より、
→OP = →OA + s →AB = (2, 7, -1) + s (1, -1, 1)
= (2 + s, 7 - s, -1 + s)
よって、
|→OP|² = (2 + s)² + (7 - s)² + (-1 + s)²
=3s² + 4s - 14s - 2s +4 + 49 + 1
=3s² -12s +54

設問（カ）

問題文より →AP = s →AB である事と、
ベクトルの足し算の公式を使うと次式が得られます。
→OP = →OA + →AP = →OA + s →AB

設問（ア）～（エ）

問題文の４点の座標は、
いずれも位置ベクトル →OA, →OB のように表す事ができ、
→AB = →OB - → OA = (3 - 2, 6 - 7, 0 - (-1))
= (1, -1, 1) と計算できます。

設問（オ）

設問（ア）～（エ）より、→AB = (1, -1, 1)
また、同様の計算により、
→CD = →OD - →OC = (-9 - (-8), 8 - 10, -4 - (-3))
= (-1, -2, -1)

よって、求める内積は次のようになります。
→AB・→CD = (1, -1, 1)・(-1, -2, -1)
= 1・(-1) + (-1)・(-2) +1・(-1)
=-1 + 2 - 1 = 0

選択肢1. トナ：−7　　ニヌ：12　　ネノ：−2

考え方は前問（セ）～（テ）と同様ですが、
設問（オ）の結果である →AB・→CD = 0 をうまく使うために、
→PQ = →OQ - →OP の計算方法を少し変えています。
すなわち、→PQ ・→CD の内積計算で s が消去され、
t だけが変数として残るようにしています。
全体的に計算はやや煩雑ですが、慎重に計算していけば結果が得られる点は前問（セ）～（テ）と同様です。

まとめ

本設問の考え方は前問（セ）～（テ）と同様です。
前問での考え方が分かっていれば計算方法は似ているので、慎重に計算して解きましょう。

前問（セ）～（テ）のまとめより

問題文の条件を満たすとき、
直線PQと直線ABが垂直に交わり、
直線PQと直線CDも垂直に交わる事から内積計算をして 0 になる式を2つ作る必要があります。

設問（オ）より →AB・→CD = 0 であった事を使う事が計算上重要になります。
それによって計算が比較的平易になるとともに、s と t の連立方程式ではなく、
s と t を個別に求める計算となります。

同じ大問の他設問と比べると少し計算が長くなりますが、
ひとつひとつ必要な計算をしていきましょう。

参考になった数0

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AからBへのベクトルをABと書きます。

Pはl₁上、Qはl₂上にあります。このことから線分PQの長さが最小になるとき、線分PQはl₁,l₂両方に対して垂線になります。

よって方針は以下になります。

PQをパラメータを用いて表現する

PQ・AB=0,PQ・CD=0を解く

前問でOP=(s+2,-s+7,s-1)とわかりました。

同じ方法でCQ=tCDを解きますと

OQ=(-t-8,-2t+10,-t-3)

を得ます。よって

PQ=(-s-t-10,s-2t+3,-s-t-2)

とわかります。では内積を解いていきます。

PQ・AB=0よりs=-5

PQ・CD=0よりt=-1

以上から線分PQの長さが最小になるP,Qの座標はそれぞれ

(-3,12,-6),(-7,12,-2)

参考になった数0

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