共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問111 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問7)

（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）
設問（キ）～（サ）より、
→OP = (2 + s, 7 - s, -1 + s)
実数 t を用いて →CQ = t →CD とすると、
→OQ = →OC + →CQ = →OC + t →CD
= (-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1)

→PQ = →OQ - →OP 
= (-8, 10, -3) +t (-1, -2, -1) - (2 + s, 7 - s, -1 + s) 
= (-10 - s, 3 + s , -2 - s) + t (-1, -2, -1)

問題文の条件を満たすとき、
直線PQと直線ABが垂直に交わり、かつ直線PQと直線CDが垂直に交わります。
まず →PQ ・→AB = 0 を考えると、
設問（オ）より →AB・→CD = 0 であった事に注意して、
→PQ ・→AB = (1, -1, 1)・  (-10 - s, 3 + s , -2 - s) + 0
よって、→PQ ・→AB = 0 を考えると、
-10 - s - 3 - s - 2 - s = 0
⇔ 3s = -15 ⇔ s = -5

→OP = (2 + s, 7 - s, -1 + s) であったので、
→OP = (-3, 12, -6)

セソ：-3　タチ：12　ツテ：-6  の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

設問（キ）～（サ）

前問（カ）および設問（ア）～（エ）より、
→OP = →OA + s →AB = (2, 7, -1) + s (1, -1, 1)
= (2 + s, 7 - s, -1 + s)
よって、
|→OP|² = (2 + s)² + (7 - s)² + (-1 + s)²
=3s² + 4s - 14s - 2s +4 + 49 + 1
=3s² -12s +54
 

設問（カ）

問題文より →AP = s →AB である事と、
ベクトルの足し算の公式を使うと次式が得られます。
→OP = →OA + →AP = →OA + s →AB

設問（ア）～（エ）

問題文の４点の座標は、
いずれも位置ベクトル →OA, →OB のように表す事ができ、
→AB = →OB - → OA = (3 - 2, 6 - 7, 0 - (-1))
= (1, -1, 1) と計算できます。

設問（オ）

設問（ア）～（エ）より、→AB = (1, -1, 1)
また、同様の計算により、
→CD = →OD - →OC = (-9 - (-8), 8 - 10, -4 - (-3))
= (-1, -2, -1)

 

よって、求める内積は次のようになります。
→AB・→CD =  (1, -1, 1)・(-1, -2, -1)
= 1・(-1) + (-1)・(-2) +1・(-1)
=-1 + 2 - 1 = 0

AからBへのベクトルをABと書きます。

Pはl₁上、Qはl₂上にあります。このことから線分PQの長さが最小になるとき、線分PQはl₁,l₂両方に対して垂線になります。

よって方針は以下になります。

PQをパラメータを用いて表現する

PQ・AB=0,PQ・CD=0を解く

前問でOP=(s+2,-s+7,s-1)とわかりました。

同じ方法でCQ=tCDを解きますと

OQ=(-t-8,-2t+10,-t-3)

を得ます。よって

PQ=(-s-t-10,s-2t+3,-s-t-2)

とわかります。では内積を解いていきます。

PQ・AB=0よりs=-5

PQ・CD=0よりt=-1

以上から線分PQの長さが最小になるP,Qの座標はそれぞれ

(-3,12,-6),(-7,12,-2)