大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問111 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問7)
問題文
点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl1とし、C、Dを通る直線をl2とする。
（3）点Pがl1上を動き、点Qがl2上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標は（［ セソ ］、［ タチ ］、［ ツテ ］）、Qの座標は（［ トナ ］、［ ニヌ ］、［ ネノ ］）である。
（ セソ ）、（ タチ ）、（ ツテ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（3）点Pがl1上を動き、点Qがl2上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標は（［ セソ ］、［ タチ ］、［ ツテ ］）、Qの座標は（［ トナ ］、［ ニヌ ］、［ ネノ ］）である。
（ セソ ）、（ タチ ）、（ ツテ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問111（数学Ⅱ・数学B（第5問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl1とし、C、Dを通る直線をl2とする。
（3）点Pがl1上を動き、点Qがl2上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標は（［ セソ ］、［ タチ ］、［ ツテ ］）、Qの座標は（［ トナ ］、［ ニヌ ］、［ ネノ ］）である。
（ セソ ）、（ タチ ）、（ ツテ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（3）点Pがl1上を動き、点Qがl2上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標は（［ セソ ］、［ タチ ］、［ ツテ ］）、Qの座標は（［ トナ ］、［ ニヌ ］、［ ネノ ］）である。
（ セソ ）、（ タチ ）、（ ツテ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- セソ：−1 タチ：11 ツテ：−3
- セソ：−2 タチ：11 ツテ：−4
- セソ：−3 タチ：12 ツテ：−5
- セソ：−3 タチ：12 ツテ：−6
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この過去問の解説 （1件）
01
AからBへのベクトルをABと書きます。
Pはl1上、Qはl2上にあります。このことから線分PQの長さが最小になるとき、線分PQはl1,l2両方に対して垂線になります。
よって方針は以下になります。
PQをパラメータを用いて表現する
PQ・AB=0,PQ・CD=0を解く
前問でOP=(s+2,-s+7,s-1)とわかりました。
同じ方法でCQ=tCDを解きますと
OQ=(-t-8,-2t+10,-t-3)
を得ます。よって
PQ=(-s-t-10,s-2t+3,-s-t-2)
とわかります。では内積を解いていきます。
PQ・AB=0よりs=-5
PQ・CD=0よりt=-1
以上から線分PQの長さが最小になるP,Qの座標はそれぞれ
(-3,12,-6),(-7,12,-2)
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