共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問110 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問6)

ベクトルAをA→と表記します。

前問までで、直線l₁は点A、Bを通る直線であり、

A（2，7，−1）
B（3，6，0）

なので、

AB→＝（1，−1，1）

と表せることを確認します。

点Pはl₁上にあるので、実数sを使って

AP→＝sAB→

とおけます。
このとき、点Pの位置から|OP→|²を求め、それが最小になるsの値を調べます。

（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）
設問（キ）～（サ）より、
|→OP|² = 3s² -12s +54
= 3(s² -4s) +54
= 3(s - 2)²+ 42
よって、s = 2 のときに |→OP|² および |→OP| は最小となります。

 「2」の選択肢が設問（ス）の解答となります。

設問（キ）～（サ）

前問（カ）および設問（ア）～（エ）より、
→OP = →OA + s →AB = (2, 7, -1) + s (1, -1, 1)
= (2 + s, 7 - s, -1 + s)
よって、
|→OP|² = (2 + s)² + (7 - s)² + (-1 + s)²
=3s² + 4s - 14s - 2s +4 + 49 + 1
=3s² -12s +54

設問（カ）

問題文より →AP = s →AB である事と、
ベクトルの足し算の公式を使うと次式が得られます。
→OP = →OA + →AP = →OA + s →AB

設問（ア）～（エ）

問題文の４点の座標は、
いずれも位置ベクトル →OA, →OB のように表す事ができ、
→AB = →OB - → OA = (3 - 2, 6 - 7, 0 - (-1))
= (1, -1, 1) と計算できます。

|OP|²=3s²-12s+54なのでした。

平方完成すると

|OP|²=3(s-2)²+42

となりますから答えはs=2