共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問109 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問5)

（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）
P は直線AB上の点である事と、
→OP は原点から P に向けられたベクトルである事に注意すると、
線分OP と直線AB が垂直に交わる時に |→OP| は最小になる事が分かります。
その条件をベクトルで記すと2つのベクトルの内積が 0 になる事であり、
次式で表されます。
→OP・→AB = 0

「→OP・→AB = 0」の選択肢が設問（シ）の解答となります。

この解説では、ベクトルの記号の代わりに下線を用います。
ベクトルａをａ、点Ａから点Ｂへ向かうベクトルを AB と表記します。

この問題では、直線OPとl₁の関係、つまり、座標上での位置関係と図形的性質に着目します。

l_１上にない点Oと、l_１上の点Pを結んだ線分OPの大きさが最小になるのは、OP⊥l₁が成り立つときです。

l₁は点A、Bを通る直線であるので、OP⊥ABが成り立ち、OP･AB=0となります。

以下は基本事項の補足となります。

l_１上にない点Oと、l_１上の点Pを結んだ線分OPの大きさが最小になるのは、OP⊥l₁が成り立つときであり、このときOPは点Oと直線l_１の距離になります。

◎垂直条件

a≠0,b≠0 のとき、a⊥b⇔a･b が成り立ちます。

AからBへのベクトルをABと書きます。

Pがl₁上の点です。

|OP|が最小となるのは、原点Oからl₁へ垂線を引いてその交点がPである場合とわかります。

つまりOPとl₁が直交します。点A,Bはl₁上ですから、以下が成り立ちます。

OP・AB=0