大学入学共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問108 (数学Ⅱ・数学B（第5問）問4)

問題文

点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl₁とし、C、Dを通る直線をl₂とする。
（　キ　）、（　クケ　）、（　コサ　）にあてはまるものを1つ選べ。問題文の画像

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問108（数学Ⅱ・数学B（第5問）問4）（訂正依頼・報告はこちら）

点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl₁とし、C、Dを通る直線をl₂とする。
（　キ　）、（　クケ　）、（　コサ　）にあてはまるものを1つ選べ。

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この解説では、ベクトルの記号の代わりに下線を用います。
ベクトルａをａ、点Ａから点Ｂへ向かうベクトルを AB と表記します。

OA=(2,7,-1) AB=(1,-1,1)…①

OP=OA+sAB…② であるので、これらをもとに、OPの成分をsを用いて表します。

　OP=(2,7,-1)+s(1,-1,1)=(s+2,-s+7,s-1)

よって、

　|OP|²=(s+2)²+(-s+7)²+(s-1)²=s²+4s+4+s²-14s+49+s²-2s+1=3s²-12s+54

以下は補足です。

① AB=(1,-1,1) の求め方は、以下のページをご参照ください。

大学入学共通テスト（数学）の過去問令和6年度（2024年度）本試験数学Ⅱ・数学B（第5問）問1 - 過去問ドットコム

② OP=OA+sAB の求め方は、以下のページをご参照ください。

大学入学共通テスト（数学）の過去問令和6年度（2024年度）本試験数学Ⅱ・数学B（第5問）問3 - 過去問ドットコム

OPの成分を求める際は、①同様に、各成分同士を計算しています。

　x成分：2+s･1=s+2

　y成分：7+s(-1)=-s+7

　z成分：-1+s･1=s-1

ベクトルの大きさは、各成分の２乗の和の平方根で表すことができますが、今回求める必要があるのは|OP|²なので、各成分の２乗の和がそのまま答えになります。

◎公式：ベクトルの大きさ

a=(a₁,a₂,a₃)のとき、

|a|=√(a₁²+a₂²+a₃²)

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AからBへのベクトルをABと書きます。

OP=(s+2,-s+7,s-1)

より

|OP|²=(s+2)²+(-s+7)²+(s-1)²=3s²-12s+54

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