共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問108 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問4)

（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）

前問（カ）および設問（ア）～（エ）より、
→OP = →OA + s →AB = (2, 7, -1) + s (1, -1, 1)
= (2 + s, 7 - s, -1 + s)
よって、
|→OP|² = (2 + s)² + (7 - s)² + (-1 + s)²
=3s² + 4s - 14s - 2s +4 + 49 + 1
=3s² -12s +54

本設問は（キ）s² -（クケ）s +（コサ）の形で答えるので、
キ：3　クケ：-12　コサ：54  の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

前問（カ）

問題文より →AP = s →AB である事と、
ベクトルの足し算の公式を使うと次式が得られます。
→OP = →OA + →AP = →OA + s →AB

設問（ア）～（エ）

問題文の４点の座標は、
いずれも位置ベクトル →OA, →OB のように表す事ができ、
→AB = →OB - → OA = (3 - 2, 6 - 7, 0 - (-1))
= (1, -1, 1) と計算できます。

この解説では、ベクトルの記号の代わりに下線を用います。
ベクトルａをａ、点Ａから点Ｂへ向かうベクトルを AB と表記します。

OA=(2,7,-1) AB=(1,-1,1)…①

OP=OA+sAB…② であるので、これらをもとに、OPの成分をsを用いて表します。

　OP=(2,7,-1)+s(1,-1,1)=(s+2,-s+7,s-1)

よって、

　|OP|²=(s+2)²+(-s+7)²+(s-1)²=s²+4s+4+s²-14s+49+s²-2s+1=3s²-12s+54

以下は補足です。

① AB=(1,-1,1) の求め方は、以下のページをご参照ください。

大学入学共通テスト（数学）の過去問 令和6年度（2024年度）本試験 数学Ⅱ・数学B（第5問） 問1 - 過去問ドットコム

② OP=OA+sAB の求め方は、以下のページをご参照ください。

大学入学共通テスト（数学）の過去問 令和6年度（2024年度）本試験 数学Ⅱ・数学B（第5問） 問3 - 過去問ドットコム

OPの成分を求める際は、①同様に、各成分同士を計算しています。

　x成分：2+s･1=s+2

　y成分：7+s(-1)=-s+7

　z成分：-1+s･1=s-1

ベクトルの大きさは、各成分の２乗の和の平方根で表すことができますが、今回求める必要があるのは|OP|²なので、各成分の２乗の和がそのまま答えになります。

◎公式：ベクトルの大きさ

a=(a₁,a₂,a₃)のとき、

|a|=√(a₁²+a₂²+a₃²)

AからBへのベクトルをABと書きます。

OP=(s+2,-s+7,s-1)

より

|OP|²=(s+2)²+(-s+7)²+(s-1)²=3s²-12s+54