共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問105 (数学Ⅱ・数学B（第5問）問1)

問題文

点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl₁とし、C、Dを通る直線をl₂とする。
（　ア　）、（　イウ　）、（　エ　）にあてはまるものを1つ選べ。問題文の画像

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問105（数学Ⅱ・数学B（第5問）問1）（訂正依頼・報告はこちら）

点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl₁とし、C、Dを通る直線をl₂とする。
（　ア　）、（　イウ　）、（　エ　）にあてはまるものを1つ選べ。

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（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）
問題文の４点の座標は、
いずれも位置ベクトル →OA, →OB のように表す事ができ、
→AB = →OB - → OA = (3 - 2, 6 - 7, 0 - (-1))
= (1, -1, 1) と計算できます。

ア：1　イウ：-1　エ：1 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

選択肢1. ア：1　　イウ：−1　　エ：1

→OA = (3, 6, 0)
→OB = (2, 7, -1) および、
→AB = →OB - → OA の公式から計算します。
引き算の順番を逆にしないように気を付けましょう。

まとめ

上記解説ではベクトルの引き算の公式 →AB = →OB - → OA を使用しています。
ベクトルは大きさと向きが同じなら平行移動しても同じ量として扱える事を利用して得られる公式です。
もし暗記が難しい場合、下図のように図で理解するのも1つの方法です。

本設問では選択肢の符号の関係から、もし公式を誤って覚えてしまっていても気付ける可能性が高いと思われますが、場合によっては最初の設問の誤りが続く設問の多くに影響してしまう可能性もありますので気を付けましょう。

→OB - →OA の計算については、
x成分はx成分同士、y成分はy成分同士、z成分はz成分同士で引き算を行います。

(a, b, c) - (x, y, z) = (a - x, b - y, c - z) です。

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この解説では、ベクトルの記号の代わりに下線を用います。
ベクトルａをａ、点Ａから点Ｂへ向かうベクトルを AB と表記します。

AB=OB-OA=(3,6,0)-(2,7,-1)=(1,-1,1)

以下は、基本事項の解説となります。

各点の座標は、原点Ｏからその点へ向かうベクトルの成分であるので、OA=(2,7,-1), OB=(3,6,0)になります。

AB の求め方がすぐに思いつかない場合には、一度原点Ｏを挟んでしりとりを行い、逆ベクトルの性質(OA=-AO)を用いてOAとOBのみの式に直すとよいでしょう。
AO+OB=-OA+OB=OB-OA

ベクトルの演算は、各成分同士で行ないます。
今回の場合は、以下のように各成分同士で引き算を行っています。
ｘ成分：3-2-1=1
ｙ成分：6-7-=-1
ｚ成分：0-(-1)=1

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AからBへのベクトルをABと書きます。

AB=OB-OA=(3,6,0)-(2,7,-1)=(1,-1,1)

が答えです。

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