共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問106 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問2)
問題文
点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl1とし、C、Dを通る直線をl2とする。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問106（数学Ⅱ・数学B（第5問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
点Oを原点とする座標空間に4点A（2，7，−1）、B（3，6，0）、C（−8，10，−3）、D（−9，8，−4）がある。A、Bを通る直線をl1とし、C、Dを通る直線をl2とする。
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この過去問の解説 （3件）
01
（※本解説ではベクトルOA を →OA と記します。）
設問（ア）～（エ）より、→AB = (1, -1, 1)
また、同様の計算により、
→CD = →OD - →OC = (-9 - (-8), 8 - 10, -4 - (-3))
= (-1, -2, -1)
よって、求める内積は次のようになります。
→AB・→CD = (1, -1, 1)・(-1, -2, -1)
= 1・(-1) + (-1)・(-2) +1・(-1)
=-1 + 2 - 1 = 0
「0」の選択肢が設問（オ）の解答となります。
設問（ア）～（エ）
まず →CD を →AB 同様に座標成分で（位置ベクトルで）表し、
座標成分を使った内積の公式により内積を計算します。
ベクトル同士の内積はスカラーです。（つまり、ベクトルではなく実数値になります。）
→t = (a, b, c), →u =(x, y, z) があったとき、
→t と→u の 内積は、
→t ・→u = ax + by + cz で計算できます。
すなわち成分ごとに掛け算した値を足し合わせて計算します。
この公式は、
内積の定義 →t ・→u = |→t|・|→u|・cosθと、
余弦定理によって導出できます。
上記解説で、→CD の計算ではベクトルの引き算の公式を使っています。
設問（ア）～（エ）の解説より（ベクトルの引き算）
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02
この解説では、ベクトルの記号の代わりに下線を用います。
ベクトルａを ａ 、点Ａから点Ｂへ向かうベクトルを AB と表記します。
まず、ABとCDの成分を求めます。
AB=OB-OA=(1,-1,1)
CD=OD-OC=(-1,-2,-1)
次に、内積の公式にこれらを代入します。
AB･CD=1･(-1)+(-1)･(-2)+1･(-1)=-1+2-1=0
以下は、基本事項の解説となります。
各点の座標は、原点Ｏからその点へ向かうベクトルの成分であるので、OA＝(2,7,-1) OB=(3,6,0) OC=(-8,10,-3) OD=(-9,8,4) となります。
AB の求め方がすぐに思いつかない場合には、一度原点Ｏを挟んでしりとりを行い、逆ベクトルの性質(OA=-AO)を用いてOAとOBのみの式に直すとよいでしょう。
AO+OB=-OA+OB=OB-OA
ベクトルの演算は、各成分同士で行ないます。
今回の場合は、以下のように各成分同士で引き算を行っています。
ｘ成分：3-2-1=1
ｙ成分：6-7-=-1
ｚ成分：0-(-1)=1
CDの成分についても同様にして求めます。
◎内積の公式
内積は各成分同士の積を足すことで求めることができます。
a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3) とした場合、
a･b=a1b1+a2b2+a3b3
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03
AからBへのベクトルをABと書きます。
AB=(1,-1,1)
CD=(-1,-2,-1)
以上から
AB・CD=-1+2-1=0
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