大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問106 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問2)

この解説では、ベクトルの記号の代わりに下線を用います。
ベクトルａを ａ 、点Ａから点Ｂへ向かうベクトルを AB と表記します。

まず、ABとCDの成分を求めます。
AB=OB-OA=(1,-1,1)
CD=OD-OC=(-1,-2,-1)

次に、内積の公式にこれらを代入します。
AB･CD=1･(-1)+(-1)･(-2)+1･(-1)=-1+2-1=0

以下は、基本事項の解説となります。

各点の座標は、原点Ｏからその点へ向かうベクトルの成分であるので、OA＝(2,7,-1) OB=(3,6,0) OC=(-8,10,-3) OD=(-9,8,4) となります。

AB の求め方がすぐに思いつかない場合には、一度原点Ｏを挟んでしりとりを行い、逆ベクトルの性質(OA=-AO)を用いてOAとOBのみの式に直すとよいでしょう。
    AO+OB=-OA+OB=OB-OA

ベクトルの演算は、各成分同士で行ないます。
今回の場合は、以下のように各成分同士で引き算を行っています。
ｘ成分：3-2-1=1
ｙ成分：6-7-=-1
ｚ成分：0-(-1)=1

CDの成分についても同様にして求めます。

◎内積の公式

内積は各成分同士の積を足すことで求めることができます。

a=(a_1,a₂,a₃) b=(b₁,b₂,b₃) とした場合、
a･b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

AからBへのベクトルをABと書きます。

AB=(1,-1,1)

CD=(-1,-2,-1)

以上から

AB・CD=-1+2-1=0