共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問104 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問9)

前問（テ）および問題文により、

{c_n} が漸化式①を満たす条件のもとで、
c₁ ≠ -3 であれば、任意の自然数 n について c_n ≠ -3 となります。
また、対偶命題を考える事により、
ある自然数 n について c_n = -3 であるならば、c₁ = -3 となります。

（※より詳細には、設問（セソ）（シス）のように c₁ = c₂ = c₃ = … = c_n-1 = c_n = -3 です。）

それらをもとに本設問の命題の真偽の判定をします。
(I) 前問（テ）の命題より c₁ ≠ 3 のとき c₁₀₀ ≠ -3 となり命題は偽です。
(II) 対偶命題より、c₁₀₀ = -3 のとき c₁ = -3 となり命題は真です。
 

(III)  注意が必要な命題です。
本設問の少し前を見て、(ii) の問題文を改めて読むと、
「c₃＝−3のとき、c₄がどのような値でも (c₃＋3) (2c₄−c₃＋3) ＝ 0が成り立つ」と記述されています。
これは具体的には、c₃＋3 = 0 であるから、
漸化式①が成立するためには2c₄−c₃＋3 ≠ 0 でもよい（任意の実数で構わない）という事です。

そして、前問（テ）の対偶命題から、
ある自然数 n について c_n = -3 であるならば、c₁ = -3 です。
そこで、n = 99 のときに c₉₉ = -3 であるならば c₁ = -3 となります。

そして c₉₉ = -3 であれば、c₁₀₀ が任意の実数のもとで、
式 (c₉₉ + 3) (2c₁₀₀ - c₉₉ + 3) = 0 が満たされます。

c₁₀₀ が任意の実数でよいという事は、「3」でも構わないという事です。

よって「c₁ = -3 かつ c₁₀₀ = 3 かつ漸化式①を満たす数列{c_n}」は存在できます。
したがって、本設問の (III) の命題は真です。

(I)：偽　(II)：真　(III)：真  の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

前問（テ）（※一部のみです。「命題」とは 「c1 ≠-3 ⇒ cn ≠-3」の事です。）

仮定から n = 1 の場合は命題が成立しているので、
n = k の時に命題が成立していると仮定したときに、
n = k +1 のときにも命題が成立すればよい事になります。

 

「n＝k のとき c_n≠−3 が成り立つと仮定すると、n＝k＋1 のときも c_n≠−3 が成り立つこと」の選択肢が設問（テ）の解答となります。

設問（セソ）（シス）

漸化式①は、
c_n + 3 = 0 または 2c_n+1 - c_n + 3 = 0 と解釈できます。
問題文にしたがうと c₃ + 3 = -3 + 3 = 0 となり①を満たしますが、
その式からは c₂ が分かりません。
そこで  2c_n+1 - c_n + 3 = 0 の式を使います。
2・(-3) - c₂ + 3 = 0 とすると、
-6 - c₂ +3 = 0 
⇔ c₂ = -3 となり、
c₂ - 3 = 0 かつ 2c₃ - c₂ + 3 = 0 となります。

 

次に c₁を計算するために 2・(-3) - c₁ + 3 = 0 を考え、
c₁ = -3 となり、
c₁ - 3 = 0 かつ 2c₂ - c₁ + 3 = 0 となります。

(l)命題Aからc_n≠-3ならc_n+1≠-3ですから偽です。

(ll)c₁=...=c₁₀₀=-3は①を満たしますので真です。

(lll)c₉₉=-3ならc₁₀₀は任意の値で①を満たします。

同様に考えるとc₁=...=c₉₉=-3かつc₁₀₀=3が成り立ちます。